高一上学期(必修1、4)数学知识点总结.docx

高一上学期(必修1、4)数学知识点总结.docx一、集合与元素
1、 集合与元素概念
一般，我们把研究对象称为元素，把元素组成的总体叫集合
2、 集合的三种特性
（1） 确定性。一个元素a与集合A的关系，要么aeA,要么aiA,两者必居其一，并 且只居其一；
（2） 互异性。就是指集合中的所有的元素彼此都不相同；
（3） 无序性。集合中的元素可以随意排列顺序。
3、 集合的表示方法
（1） 语言描述法。比如集合｛1,3,5,7,9｝用语言描述法表示为“小于10的正奇数组成的集合”
（2） 列举法。例如｛1,3,5,7,9,...｝、｛1,3,5,7,9,...,99｝、｛北京、上海、天津、重庆｝
（3） 描述法。将集合中所有元素的共有特性用数学语言表示出来。例如A = ｛xcR|xV1O｝
或者 A = (x|x<10}
4、 常用数集的简称
（1） 自然数集（非负整数集），记为N；（注意集合N中的元素为0, 1, 2, 3, 4, 5,...）
（2） 正整数集，记为N*或N,；（注意集合N*或N+中的元素为1, 2, 3, 4, 5,...）
（3） 整数集，记为Z；
（4） 有理数集，记为Q；
（5） 实数集，记为R；
5、 集合的形式有数的集合、点的集合、集合的集合（其中数的集合、点的集合常用）
6、 子集：对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称 集合A为集合B的子集，记为AqB （或3目A）
7、 空集：不含任何元素的集合叫空集，记为0。注意，空集是任何集合的子集
8、 子集的性质：①任何一个集合都是它自身的子集②若A^B,B^C,则AqC
9、 真子集：若集合A^B,且A^B,那么集合A是集合B的真子集，记为AMB。
注意空集是任何非空集合的真子集
10、 元素与集合的关系有“属于”与“不属于”这两种，用符号£、任表示
11、 集合与集合的关系有“包含”、“不包含”这两种，用符号匚、Z表示；
其中“包含”有“真包含”和“相等”两种，用符号狂、=
13、 并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并
集，用符号表示AU3 = ｛x|xc A或xc 3｝
14、 交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交
集，用符号表示AnB = ｛x|xe b｝
二、函数概念
一、 映射
映射：设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在3中有
一个且仅有一个元素/与x对应，：
X 一 /(X)
这时称y是X在映射f的作用下的象，记作/(X),于是y = f(x). X称作y的原象.
集合A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，所有象f(X)构成的集合叫做映射f的值域, 记作f(A).
注：1. 一对一、多对一是映射，一对多不是映射
集合A中的元素一定有象，集合B中的元素不一定有原象.
一一映射：如果/■是A到B的一个映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中有且只
有一个原象.
映射是函数概念的推广，.
二、 分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则.
注：①分段函数是一个函数
分段函数的定义域是自变量X的取值区间的丑集，值域是各个区间对应的值域的丑集.
解决分段函数的重要策略就是分类讨论.
三、 函数的单调性
增函数：一般地，设函数y = f(x)的定义域为A，区间M x,,x2,若 Ax ^x2-xt > 0 , Ay = /(工2)-/(司)=>2 -叫 >0，则称函数 y = /(x)在区间 M 上 是增函数.
减函数：一般地，设函数y = f(x)的定义域为A，区间M xt,x2,若 Ax = x2 -Xj >0 , △y = f(X2)-f(Xi)<0，则称函数 y = f(x)在区间M 上是减函数.
对勾函数y^x + -在区间(一8,-1),(1,+8)上为增函数，在区间(-1,0), (0,1)上为减函数；
一般地，对勾函数y = x +—(k>0)在区间(-8,_JE),(JQ+8)上为增函数，在区间 (一 JQo),(o,JE)上为减函数；
对于复合函数y = /(g(x)),其中y = f(")称为外函数，" = g(x)称为内函数.
当内外函数单调性相同时，y = f (g(x))为增函数；
当内外函数单调性相反时，y = f(g(W)为减函数.
设 X],改 e [a, b],而 / x2 ,那么①当(x,-x2 )g) - f(x2