三角形四心问题
三角形四心问题
三角形四心问题
七、三角形四心问题
一、四心的观点介绍
1）重心——中线的交点：重心将中线长度分红 2： 1；
2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
3）心里——角均分线的交点（内切圆的圆心）：角均分线上的随意点到角两
边的距离相等；
4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各极点的距离相等。
二、四心与向量的联合
（1） OA
OB
OC
0
O 是 ABC的重心 .
证法 1：设 O ( x, y), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C (x3 , y3 )
(x1
x) ( x2
x) ( x3
x) 0
x
x1
x2
x3
3
OA
OB
OC
0
( y1
y) ( y2
y) ( y3
y) 0
y1
y2
y3
y
3
O是 ABC的重心 .
证法 2：如图
A
A、O、D 三点共线，且 O 分 AD
为 2：1
E
O 是
ABC 的重心
O
（2）OA OB
OB OC OC OA
O
为
ABC 的垂心 .
证明：如下图 O 是三角形 ABC 的垂
B
D
心，BE 垂直 AC ，
AD 垂直 BC， D、E 是垂足 .
C
同理 OA
BC，OC
AB
O 为 ABC 的垂心
（3）设 a , b , c 是三角形的三条边长，
O是
ABC的心里
aOA
bOB
cOC
0
O 为
ABC 的心里 .
证明：
AB 、AC 分别为 AB、AC 方向上的单位向量，
c
b
AB AC
BAC ,
c
均分
b
AO
( AB
AC )，令
a
bc
c
b
b c
AO
bc
（
AB
AC
a
b
c
)
c
b
化简得 (a
b c)OA b AB
c AC
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