巧解不等式.doc

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难点巧学——不等式
一、活用倒数法则 巧作不等变换
不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,,尤其是不等变换有很大的优越性.
倒数法则：若ab>0,则a>b与<等价。
应用1、解不等式loga(1-)>1.
分析：当a>1时，原不等式等价于：1->a,即 <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, <0,从而1-a, 同号，由倒数法则，得x>; 当0<a<1时，原不等式等价于 0<1- <a,∴1-a<<1, ∵0<a<1，∴ 1-a>0, >0, 从而1-a, 同号，由倒数法则，得1<x<;综上所述，当a>1时,x∈(,+∞)；当0<a<1时，x∈(1,).
有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。
二、小小等号也有大作为
绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。这里a,b既可以表示向量，也可以表示实数。
当a,b表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a与b共线；
当a,b表示实数时，有两种情形：（1）当ab≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.当a,b同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。
应用2 若1<<,则下列结论中不正确的是（ ）
A、logab>logba B、| logab+logba|>2 C、(logba)2<1 D、|logab|+|logba|>|logab+logba|
分析：由已知，得0<b<a<1,∴a,b同号，故|logab|+|logba|=|logab+logba|，∴D错。
注：绝对值不等式是一个十分重要的不等式，其本身的应用价值很广泛，在高考或其他试题中常设计成在等号成立时的特殊情况下的讨论，因此利用等号成立的条件（a,b同号或异号）是解决这一类问题的一个巧解。
三、“抓两头 看中间”，巧解“双或不等式”
（1）解不等式（组）的本质就是对不等式（组）作同解变形、等价变换。
（2）多个不等式组成的不等式组解集的合成——先同向再异向
不等式组的解法最关键的是最后对几个不等式交集的确定。常用画数轴的方法来确定,?可以“先同向再异向”的原则来确定，即先将同向不等式“合并”（求交集），此时“小于小的，大于大的”；最后余下的两个异向不等式，要么为空集，要么为两者之间。
如：解不等式组:,
先由③④(同>)得x>0(大于大的);再由①②(同<)得x<1(小于小的);再将x>0与x<1分别与⑤作交集,由x>0与⑤得0<x<2;由x<1与⑤得-1<x<(0,1).
四、巧用均值不等式的变形式解证不等式
均值不等式是指：a2+b2≥2ab(a,b∈R) ①；a+b≥2( a,b∈R+) ②.
均值不等式是高考的重点考查内容，但其基本公式只有两个，在实际解题时不是很方便。若能对均值不等式进行适当变形，那么在解题时就能达到事半功倍的效果。下面的一些变形式在解题时就很有用，不妨一试。当然你也可以根据需要推导一些公式。如：
a2≥2ab