洛必达法则的使用分析.pdf

? 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 究 ZHUANTIYANJIU 106 数学学习与研究 20101 7 洛必达法则的使用分析◎郝建民(山东农业大学信息科学与工程学院 271018 ) 【摘要】本文从洛必达法则的内容出发,给出了在使用洛必达法则求极限过程中几个需要特别注意的问题. 【关键词】洛必达法则;条件;代换;剥离;整理在高等数学中洛必达法则是利用柯西中值定理推导出的一个重要结论,是求不定式 00 型或∞∞型极限的简单而有效的法则,,我们有必要对洛必达法则的使用进行全方位的分析思考. 一、洛必达法则及其解决极限的类型 11如果当 x→ x 0时,函数 f (x )与 g (x )都是无穷小量, 则称比 f (x ) g (x ) 为 00 型未定型(或不定式),求这种未定型的极限有下面的洛必达法则. 定理设(1 )函数 f (x )与 g (x )在点 x 0的某一空心邻域 S 0(x 0, δ)内有定义,且 lim →0 f (x )=0 (或∞),lim →0 g (x )=0 (或∞); (2 )f (x )与 g (x )在 S 0(x 0,δ)内可导,且 g′(x )≠ 0 ; (3 )lim →0 f′(x ) g′(x ) = k (或∞), 则极限 lim →0 f (x ) g (x ) =lim →0 f′(x ) g′(x ) = k (或∞). 注意在上述法则中若把自变量 x的变化趋势改为 x→∞,法则依然成立. 21其他的未定型还有 0·∞型,∞—∞型,0 0型,∞ 0 型,1 ∞型等,这些未定型的极限均可通过代数方法化为 00 型或∞∞型的极限问题. 其中,∞—∞型通过通分或有理化的方法转化为 00 型或∞∞型;0·∞型通过恰当的取倒数的方法转化为 00 型或∞∞型;0 0型,∞ 0型,1 ∞型我们称之为幂指函数型的极限,通过取自然对数的方法转化为 00 型或∞∞型. 二、洛必达法则尽管在求极限时非常方便———只要满足法则的条件就可以连续使用,但在具体使用过程中需要做到两个“注意” 11使用或者连续使用洛必达法则过程中一定注意:洛必达法则的条件充分不必要;同时随时观察分子分母是否是 00 型或∞∞型,不是 00 型或∞∞型的极限,切勿使用洛必达法则. 例 1 lim →+∞ x+sin x x-sin x ∞∞型=lim →+∞ 1+cos x 1-cos x (不存在). 这个例子中分子分母为∞∞,利用一次洛必达法则后极限虽然不存在,但原分式的极限却是存在的: lim →+∞ x+sin x x-sin x =lim →+∞ 1+ sin x x 1- sin x x =1 . 因此洛必达法则的条件是充