构造对偶式.doc

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构造对偶式的八种途径
在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。
和差对偶
对于表达式，我们可构造表达式作为它的对偶关系式。
例１若，且，求的值。
解析：构造对偶式：
则得
再由，得：。
点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。
例２已知：，且，
求证：。
解：
则有：
又，故，即原不等式成立。
例３解方程：
解：构造对偶式：，再由原方程联立可解得：
那么得：
　　得：，即，
代入（３）中得：，
整理得：，　解得：。
互倒对偶
互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。
例４若，求证：。
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解：设,
构造对偶式：，则
而，故，即。
例５设为互不相等的正整数，
求证：。
解：设Ｍ＝，构造对偶式：
则
　　又为互不相等的正整数，所以，因此。
点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题这目的。
例６已知对任意总有，求函数的解析式。
解析：因　　　　　　　①
用替代上式中的，构造对偶式：　　　　　　②
由①－②×２得：
故。
共轭对偶
共轭对偶是反映利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式的方法。
例７已知，解方程：。
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解析：由　　　　　　　　　　　①　
构造对偶式：　　　　　　　　　②
由①－②得，代入②得，
故或。
例８若，已知且，证明：为纯虚数。
解：设Ｍ＝，则，构造对偶式：Ｎ＝
则Ｍ＋Ｎ＝＋＝０（因为）
又（因为）
∴为纯虚数。
例９已知：，且，求证：。
证明：设Ｍ＝，构造对偶式：Ｎ＝
∴，即原不等式成立。
倒序对偶
倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。
例１０求和：
解析：观察和式联想到，故首先在和式右边添上一项，则　　　　　　　　　①
构造对偶式：　　　　　②
即②亦为：　　　　　　　　　　③
由①＋③得：
点评：利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！
例１１正项等比数列中，试用Ｓ，Ｔ表示
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。∵∴
解析：传统解法都用表示Ｓ，Ｔ及Ｑ，然后通过和找到Ｓ，Ｔ，Ｑ的等量关系，这种解法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论和两种情形，如此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点。其实，观察和式子与积式特征不妨采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试。
由题意知：　　　　　　　　　　　①
构造倒序对偶式：　　　　　　　　　②
由①×②得：，即
再来看：　　　　　　　　　　　　　　③
构造倒序对偶式：　　　　　　　　　④
即③＋④得：
即。
由等比数列性