2022年数列知识点归纳及习题总结.doc

等差与等比数列知识与办法总结
一、知识构造与要点
定义
通项—等差中项 a、b、c成等差
基本概念 推广
前n项和
等差数列
当d>0(<0) 时{为递增（减）数列
当d=0时为常数
基本性质 与首末两端等距离项之和均相等


中共成等差则也成等差
定义：
通项 等比中项：a b c成等比数列
基本概念
推广
前n项和
等比数列
与首末两端等距离两项之积相等


成等比，若 成等差则
成等比
基本性质 当 或 时 {为递增数列
当 或 时 {为递减数列
当 q<0时 {为摆动数列
当 q=1时 {为常数数列
二、等差数列、等比数列基本知识与办法概括
（一）．普通数列
数列定义及表达办法；数列项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减）、摆动、循环数列；数列{an}通项公式an；数列前n项和公式Sn；
普通数列通项an与前n项和Sn关系：
（二）等差数列
1．等差数列概念
[定义]如果一种数列从第2项起，每一项与它前一项差等于同一种常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差通惯用字母d表达。
即：
2．等差数列鉴定办法
（1）定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。
（2）等差中项法：对于数列，若，则数列是等差数列。
3．等差数列通项公式
如果等差数列首项是，公差是，则等差数列通项为。
[阐明]：该公式整顿后是关于n一次函数。
4．等差数列前n项和
（1）． （ 2.）
[阐明]对于公式2整顿后是关于n没有常数项二次函数。
5．等差中项
如果，，成等差数列，那么叫做与等差中项。即：或
[阐明]：在一种等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它前一项与后一项等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离先后两项等差中项。
6．等差数列性质
（1）．等差数列任意两项间关系：如果是等差数列第项，是等差数列第项，且，公差为，则有
（2）.对于等差数列，若，则。
也就是：，如图所示：
（3）．若数列是等差数列，是其前n项和，，那么，，成等差数列。如下图所示：
（4）．设数列是等差数列，是奇数项和，是偶数项项和，是前n项和，则有如下性质：①奇数项
②偶数项
③
因此有 ；


因此有
（5）．若等差数列前项和为，等差数列前项和为，则。
（三）．等比数列
1．等比数列概念
[定义]：
[等比中项]
如果在与之间插入一种数，使，，成等比数列，那么叫做与等比中项。也就是，如果是等比中项，那么，即。
2．等比数列鉴定办法
（1）定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。
（2）等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。

如果等比数列首项是，公比是，则等比数列通项为。


（1）等比数列任意两项间关系：如果是等比数列第项，是等差数列第项，且，公比为，则有
（2）.对于等比数列，若，则
也就是：。如图所示：
（3）若数列是等比数列，是其前n项和，，那么，，成等比数列。如下图所示：
三、数列通项求法
，等比数列通项；
2.
，迭乘累乘
，
，
，
………， ………，
，
，
注：
4. 数列间关系
(1)

(2)
（3）递推数列]
①能依照递推公式写出数列前n项
②由 解