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复合函数的单调性
复合函数的定义：设y=f(u)定义域A，u=g(x)值域为B，若A B，则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量
2020/12/2
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复合函数的单调性
复合函数的单调性由两个函数共同决定；
引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)<g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1<u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
2020/12/2
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精品资料
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你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？
教师的教鞭
“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？
教师的教鞭
“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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复合函数的单调性
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
2020/12/2
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复合函数的单调性
若u=g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
y=f(u)
增函数
减函数
减函数
增函数
则y=f[g(x)]
增函数
增函数
减函数
减函数
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。 “同增异减”
2020/12/2
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复合函数的单调性
例1：求下列函数的单调性y=log4(x2－4x+3)
解　 设 y=log4u,u=x2－4x+ u＞0, u=x2－4x+3，解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.
当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
2020/12/2
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解：设u=x2－4x+3 ，u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＜2　 (u减)
解得x＜∈(－∞，1)时，函数u单调递减.
由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＞2　 (u增)
解得x＞(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
代数解法：
2020/12/2
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