高等数学微分方程总结.pptx

(zhéxiàn)积分
(wēi fēn)
(jīfēn)
转为z的一阶线性
关于u一阶
第一页，共21页。
二阶变系数(xìshù)
二阶
一阶
二阶常系数(xìshù)
解的结构(jiégòu)
第二页，共21页。
P338
P348
第三页，共21页。
一、一阶微分方程(wēi fēn fānɡ chénɡ)求解
1. 一阶标准类型(lèixíng)方程求解
关键: 辨别方程类型(lèixíng) , 掌握求解步骤
2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量
代换因变量
代换某组合式
(2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
四个标准类型:
可分离变量方程,
齐次方程,
线性方程,
全微分方程
第四页，共21页。
例1. 求下列方程(fāngchéng)的通解
提示(tíshì): (1)
故为分离(fēnlí)变量方程:
通解
1、一阶标准类型
第五页，共21页。
方程(fāngchéng)两边同除以 x 即为齐次方程(fāngchéng) ,
令 y = u x ,化为分
离变量(biànliàng)方程.
调换(diàohuàn)自变量与因变量的地位 ,
用线性方程通解公式求解 .
化为
第六页，共21页。
方法(fāngfǎ) 1 这是一个齐次方程 .
方法(fāngfǎ) 2 化为微分形式
故这是一个(yī ɡè)全微分方程 .
第七页，共21页。
例2. 求下列方程(fāngchéng)的通解:
提示(tíshì): (1)
令 u = x y , 得
(2) 将方程(fāngchéng)改写为
(伯努利方程)
(分离变量方程)
原方程化为
二、非标准类型：
第八页，共21页。
令 y = u t
(齐次方程(fāngchéng))
令 t = x – 1 , 则
可分离变量方程(fāngchéng)求解
化方程(fāngchéng)为
第九页，共21页。
变方程(fāngchéng)为
两边(liǎngbiān)乘积分因子
用凑微分(wēi fēn)法得通解:
第十页，共21页。