球的切接问题专题.docx

球的切接问题专题
球的切接问题专题
球的切接问题专题
专题：球的切接问题
一．知识点
1． 正方体的内切球 ：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正
方体的中心。设正方体的棱长为
a ，球半径为 R 。
如图 1，截面图为正方形 EFGH
的内切圆，得 R
a
；
2
2 与正方体各棱相切的球 ：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，
如图 2 作截面图，圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆，易得 R 2 a 。
2
3 正方体的外接球 ：正方体的八个顶点都在球面上，
如图 3，以对角面 AA1 作截面图得， 圆 O 为矩形 AA1C1C 的外接圆， 易得 R A1O 3 a 。
2
图1 图2
图 3
正四面体的外接球和内切球
如图 4 所示，设点 O 是内切球的球心，正四面体棱长为
a ．由图形的对称性知，点 O 也是
外接球的球心．设内切球半径为
r ，外接球半径为 R ．
正四面体的表面积
S表
4
3 a 2
3a 2 ．
4
正四面体的体积 VA BCD
1
3 a 2
AE
3 a 2
AB 2
BE 2
3
4
12
3 a2 a 2
3 a 2
2 a3
12
3
12
图 4
精选
球的切接问题专题
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球的切接问题专题
1
3VA BCD
3
2
a3
6
12
S表 r VA BCD ，
r
S表
3a 2
a
3
12
3
2
6
在 Rt BEO 中， BO 2
BE 2
EO 2
，即 R2
ar 2 ，得 R
a ，得 R 3r
3
4
小结 :正四面体内切球半径是高的
1
3
4，外接球半径是高的 4
长方体的外接球 ：即正方体的各顶点都在球面上。
设长方体的棱长分别为 a， b， c。怎么作平面截图来反映半径和边长的关系？联想正方体的外接球，过长方体的对角面的作截截面图
2R
a
b2
c2
（ 4）
结论：由图形（
a2
b2
c2
4）我们可以发现外接球的半径R
2
二、题型与方法归类
例 1、（ 1）若棱长为
3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
________．
本题主要考查简单的组合体和球的表面积．
画出球的轴截面可得， 球的直径是正方体的对角
线，所以有球的半径
R＝