2022年极坐标与参数方程知识点总结归纳.doc

第一某些:坐标系与参数方程
【考纲知识梳理】
1．平面直角坐标系中坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换作用下,点相应到点,称为平面直角坐标系中坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

(1)极坐标系
如图(1)所示,在平面内取一种定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一种长度单位,一种角度单位(普通取弧度)及其正方向(普通取逆时针方向),这样就建立了一种极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内点与坐标能建立一一相应关系,.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点与点M距离|OM|叫做点M极径,记为;以极轴为始边,射线为终边角叫做点M极角,,,不作特殊阐明时,,当点M在极点时,它极坐标为。和直角坐标不同,,那么除极点外,平面内点可用唯一极坐标表达;同步,极坐标表达点也是唯一拟定.

(1)互化背景:把直角坐标系原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相似长度单位,如图(2)所示:
(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它直角坐标是,极坐标是,于是极坐标与直角坐标互化公式如表:
点M
直角坐标
极坐标
互化公式
在普通状况下,由拟定角时,可依照点M所在象限最小正角.

曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为圆
圆心为,半径为圆
圆心为,半径为圆
过极点,倾斜角为直线
(1)
(2)
过点,与极轴垂直直线
过点,与极轴平行直线
注:由于平面上点极坐标表达形式不唯一,即都表达同一点坐标,,,其中,只有极坐标满足方程.
二、参数方程

普通地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点坐标都是某个变数函数①,并且对于每一种容许值,由方程组①所拟定点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线参数方程,联系变数变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点坐标间关系方程叫做普通方程.

(1)曲线参数方程和普通方程是曲线方程不同形式,普通地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果懂得变数中一种与参数关系,例如,把它代入普通方程,求出另一种变数与参数关系,那么就是曲线参数方程,在参数方程与普通方程互化中,必要使取值范畴保持一致.
注:普通方程化为参数方程,参数方程形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题,核心在于恰本地设参数,如果选用参数不同,那么所求得曲线参数方程形式也不同。
3．圆参数
如图所示,设圆半径为,点M从初始位置出发,按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动,设M,则。这就是圆心在原点,半径为圆参数方程,其中几何意义是转过角度。圆心为,半径为圆普通方程是,
它参数方程为:。