函数的周期性及对称性.doc

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函数的周期性与对称性
1、函数的周期性
若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)
2、函数的对称性与周期性
性质5若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|
（自身对称）
若，则具有周期性；若，则具有对称性：“同表示周期性，反表示对称性”。
1、图象关于直线对称
推论1：的图象关于直线对称
推论2、的图象关于直线对称
推论3、的图象关于直线对称
2、的图象关于点对称
推论1、的图象关于点对称
推论2、的图象关于点对称
推论3、的图象关于点对称
例题分析：
1．设是上的奇函数，，当时，，则等于 ( )
（A） （B） （C） （D）
2、（）已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．设是定义在上的奇函数，求
4．函数对于任意实数满足条件，若，则___
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5．已知是定义在上的奇函数，且它的图像关于直线对称。
（1）求的值；（2）证明是周期函数；
（3）若，求时，函数的解析式，并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。
(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
巩固练习：
1．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(　　)
A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.
其中所有正确命题的序号是________．
3．设定义在R上的奇函数y＝f(x)，满足对任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f的值等于(　　)A．－ B．－C．－ D．－
4．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．
5、（1）;
（2）
（3）若设
.
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6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(3)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积．
7．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.
，判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.
，周期，，在上是二次函数，且在时函数取得最小值.
（1）证明：；（2）求的解析式；
（3）求在上的解析式.
，（1）判断的奇偶性；（2）证明：
11、定义在上的函数是减函数，且是奇函数，若，数的围。
12．（文）已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值围。
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复习题：
已知数列，其前项和为，点在抛物线上；各项都为正数的
等比数列满足.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）记,求数列的前项和．
2．在△中，角、、所对的边分别是、、，且（其中为△的面积）．
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，△的面积为3，求．
3．某日用品按行业质量标准分成五个