极限的求法与技巧 毕业论文 (2).doc

极限的求法与技巧摘要: 学习数学分析的基础是函数极限, 《数学分析》后面内容的学习与极限有着密切的联系。那么怎样才能快速准确的求出极限值呢?我先对极限的定义和一些结果进行总结,然后得出对于这一问题只能针对小同体型采取相应的求法。本文阐述了一些常用的求极限方法:利用极限的定义求极限,利用等价代换求极限,利用变量替换求极限,利用极限的四则运算法则求极限,利用迫敛性求极限,利用已知的极限求极限, 利用无穷小量与无穷大量的关系求极限,利用函数的连续性求极限,利用洛必达法则求极限,利用泰勒公式求极限,利用定积分求极限。关键词:极限,洛必达法则,定积分。 ?????????? 0 x (1) limf x = 0 0, x , f x - . 2 limf x = 0 0, x<0 x-x , f x - . xx A M M A AA ? ?? ? ???????????????????,当时有,当时有?????????? 22224 f x = , limf x =4 24 f x -4 = -4 = 2 4 2 , 2 0 = 2 f x -4 . limf x =4. xxxxx x x xx ? ??????????? ????? ????例设证明证:由于当 x 2 时, 故对给定的,只要取,则当0时有这就证明了 ?????? x bx2 x 0 x sin x tan x arcsin x arctan x -1 1+x -1 a -1 1 a>0,b 0 . 1-cosx x . lna b 2 e ??? ????? ? ?最常用的等价关系: 当时,其中还有注:在乘除式极限里,其因子可用等价因子替换,极限不变。?? 00 arctan x lim ln 1+sin x x =lim =1 sin x xx ??例解:原式 :为了将未知的极限化简,或转化为已知的极限,可根据极限式的特点,适当引入新变量,是原来的极限过程,转化为新的极限过程。 tt22 t t t -1 -1 t -t -t t -1 0 lim 1 , , , t t t =lim =lim t -1 t-1 t+1 1 1 =lim 1+ 1- t t 1 1 =lim 1+ 1- t t = = =1 xxxx t x t e e e ???? ??????? ?? ??? ?? ??????? ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?? ????? ?? ???? ???? ?? ?? ????? ???? ????例求解:令x原式 : 假如 Axf xx??)( limBxg xx??)( lim (1)?????)()( lim 0xgxf xx)( lim xf xx??BAxg xx???)( lim (2)?? BAxgxfxgxf xxxxxx????????)( lim )( lim )()( lim (3) 设B≠0则: B Axg xfxg xf xx xxxx?????)( lim )( lim )( )( lim (4) cA xfcxfc xxxx??????)( lim )( lim (c是常数) , , x x x ????????上述的运算法则对于也同样适用。即:函数极限的和、差、积、商等于函数的和、差、积、商的极限。 222 +3 +2 lim 3 2 3 2 2 = 2 3 125 x x x x ??? ???例解:原式 = ?????????????? 0 lim = lim =A, lim =A. x x x x x x f x g x