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6.轨迹方程.交轨法.doc第六讲：轨迹方程•交轨法 21
第六讲：轨迹方程•交轨法
若动点满足的几何条件是两动曲线 (曲线方程中含有参数)的交点，此时,要首先分析两动曲线的变化，依赖于哪一个变
量？设出这个变量为 t,求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去参数 t,化简整理即得动点的轨迹方程，这
种求轨迹方程的方法我们称为交轨法 •
•解析形式
例1:(2003年新课程高考试题)己知常数a>0,向量c=(0,a), i=(1,0),经过原点O,以c+入i为方向向量的直线与经过定
P,其中入€ R,试问：是否存在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|
点A(0,a),以i -2入c为方向向量的直线相交于点 存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
解析:(I )由 c=(0,a),
i =(1,0) = c+入 i =(入,a),
i -2入c=(1,-2入a) AP的方程分别为 入y=ax、y-a=-2入ax,
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( a )2
消去参数入，得点P(x,y)的坐标满足y(y_a)=_2a
2x2,即上 2 =1.①当a=_^时，点P的轨迹为圆，故不存在满足题
-8 碍)2 2
8 2
意的定点；②当a工2时，点P的轨迹为椭圆，故存在椭圆的两焦点满足题意•
2
类题：
(2011年安徽高考试题)设直线l1：y=k1X+1,l 2：y=k*1,其中实数 匕止满足 匕应+2=0.
(I )证明l 1与丨2相交;
(II)证明l 1与12的交点在椭圆2x2+y2=1上.
(2005年全国高中数学联赛安徽预赛试题 )己知常数a>0,向量p=(1,0), q=(0,a),经过定点M(0,-a),方向向量为入p+q
的直线与经过定点 N(0,a),方向向量为p+2入q的直线相交于点R,其中入€ R.
(I)求点R的轨迹方程；
2 _ _
(I)设a= 一,过F(0,1)的直线l交点R的轨迹于A B两点，求FA FB的取值范围
2
.平几形式
例2： (2013年福建高考试题)如图，在正方形OABC中, y
O为坐标原点，点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0, C
10),分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A,A2,
…,A9和B,B2,…,B9,连接OB,过A作x轴的垂线与OB
交于点 P(i € N+,1 < i < 9). O A (I )求证：点P(i € N+,1 < i < 9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线
(I)过点C作直线l与交抛物线E于不同的两点 M N,若厶OCMfA OCN的面积比为4：1,求直线l的方程.
解析：(I )因 B(10,i)
=直线。跖=存;直线ARE
= P(i,
i2
10)= ■点 Pi(i
€ N+,1 < i < 9)在抛物线 E：x2=10y 上;
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y kx ~t10
(I)设 Ma^ydNa 2,y 2),直线 l：y=kx+10;由丿 2 =x2-10kx-100=0 二 X!+X2=10k,x 风=-100；因厶 OCM^fA OCN的面
x2 =10y ' '
第六讲：轨迹方