8平移构造齐次式.doc

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平移坐标系构造齐次式
M圆锥曲线斜率和与积的问题一移构造齐次式进阶篇
在秒杀压轴题系列1中，我们讲解了有关过圆锥曲线上的一个定点戶作两条直线与圆锥曲线交于弓、〃，在
直线和肋斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，，秒1中给岀 平移构造齐次式的秒杀方法。那么有些同学提出疑问，如果定点尸不在圆锥曲线上时，我们该如何秒杀？
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秒杀秘籍：已知点P（x0 >）o）是平面内一个定点，椭圆6 二n + — = l（a>b>0）上有两动点•趴3
（1） 若直线km+kpB=九,则直线-3过定点
（2） 若直线kp.「kpB=入、则直线ABxL定点
证明：将椭恻C按向fiPO（-x0,-y0）方向平移，得 m C•: 3 + =1，展开得：
cr b・
x2 y2 2x0 2y0 卅 >o , A
平面内的定点P（Xo』o）和椭|M|C上的动点.」、3分别对应椭［Ml C，上的定点O和动点f、B\设直线
的方程为nix + ny = 1,代入展开式得罕+ *■ + （冷>x +书•*（"□ +妙）+ + p--1 （nix + ny）2 = 0 （构
造齐次式），当 “0 时，两边同时除以"整理得
F 卅(wjo+1)2』
(2fmi\Q + 2xo” 亠 2nmyQ + 2yQm °
工十
仏o+l)2 亠〃® 一2、 Z + 7 —加
1八户J
X・
[“ b2 J
X
Q b2
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为点/、歹的坐标满足这个方程，所以kor^ko3.；^关于上的方程的两根。
' x
（1）若 5+kpB =入 , 由 平 移 性 质 知 k0{- + k0B- = A , 所 以
2nmxQ + 2xQn 2加叭 +
kox + k0B^ = 匚丁^一: 冬 =A >整理可得到加和“
过定点，曲¥移性质町得直纟戈AB过定点
2
-=2 整理可
(7/n0-H)2 f m'yl
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(2) 1? kpq kpB = A » 由半移性丿页知 ・ k°B・=久，所以 厂 ^0Bf = — ; —rs
心6 t (啊+1)・”2 —n
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得到加和“的关系，从而可知直线过定点，由平移性质可得直线过定点.
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【例1】（2018 •新课标I）设椭恻C：y + r = 1的右焦点为F,过F的苴线/与C交于2, 〃两点，点M的
坐标为（2,0）.
（1） 当/与X轴垂直时，求直线的方程；
（2） 设O为坐标原点，证明：AOMA = LOMB .
【答案】（1）略.
（2）将椭圖按照花方向平移得椭圆C,则M->O,』->』，BfB', FtF,椭圆C:（x+2）+尸=],
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设直线 I pg : nix + ny = 1,直线过（・1,0）,即 m = -1,榊圆（？： x2 + 4x+ 2y2 +2 = 0,
即：x2 +4x（mx + ny）+ 2y2 + 2（mx + wy）2 = 0 （齐次化），两边同除以x，,整理得,
（2 + 2»2）—+（4〃 + 4mn）— + 2nr + 4m + 1 = 0
+kg= kor + kOB.= - 力 + 细丫 =0,所以 AOAL1 = ^OAfB
」 ・ 2 + 2rr
又因为= kar 9斤册=k（）B
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【例2] （2019-全国模拟）已知O为坐标原点，椭M^ + ^r = l（«>^>0）的离心率为 rr Zr
椭圆上两点M、
和非馳顶点）满足~『，H审+审V
（1）求椭恻的标准方程.
（2）不半行于歹轴的直线与椭恻交f P. 0两点，F为椭恻的右焦点，当1^叫=0时，直线P0是否
过定点？若过，求出此定点，若不过，请说明理由.
【答案】（1）才+八I.
（2）将椭圆按局平移得椭圆（？，则FtO, PtF, 0T0,椭圆C；l） +尸=],设/po：Mv + 〃y = l, x2 ]
—+ y2 + x（mx + ny）- y（??/x + ny）1 = 0 ,两边同除以 x，,整理得，