单调性、奇偶性函数问题的方法(2.doc

单调性、奇偶性函数问题的方法(2
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云南省2010届高三二轮复习专题（七）
题目 高中数学复习专题讲座
处理具有单调性、奇偶性函数问题的方法（2）
高考要求
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 特别是两性质的应用更加突出 　本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象 帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识
重难点归纳
(1)判断函数的奇偶性与单调性
若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性
若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性
同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的训练认真体会，用好数与形的统一
复合函数的奇偶性、单调性 问题的解决关键在于 既把握复合过程，又掌握基本函数
(2)加强逆向思维、数形统一 正反结合解决基本应用题目

(3)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目 此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力
(4)应用问题 在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决 特别是 往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题
典型题例示范讲解
例1已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明
(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减
命题意图 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力
知识依托 奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想
由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得 2a2+a+1>3a2－2a+1 解之，得0<a<3
又a2－3a+1=(a－)2－
∴函数y=()的单调减区间是［，+∞］
结合0<a<3,得函数y=()的单调递减区间为［，3)
例3设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明 f(x)在(0，+∞)上是增函数
(1)解 依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),
即+aex 整理，得(a－)(ex－)=0
因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1
(2)证法一（定义法） 设0＜x1＜x2,
则f(x1)－f(x2)=
由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1－e＜0,
∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数
证法二（导数法） 由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1) 当x∈(0,+∞)时，e－x>0,e2x－1>0
此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数
学生巩固练习
1 下列函数中的奇函数是( )
A f(x)=(x－1) B f(x)=
C f(x)= D f(x)=
2 函数f(x)=的图象( )
A 关于x轴对称 B 关于y轴对称
C 关于原点对称 D 关于直线x=1对称
3 函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是____
4 若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),且在［x2,+∞上单调递增，则b的取值范围是_________
5 已知函数f(x)=ax+ (a>1)
(1)证明 函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根
6 求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数
7 设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足
(i)f(x1－x2)=；
(ii)存在正常数a使f(a)=1 求证
(1)f(x)是奇函数
(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a
8 已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0
(1)求证 f(x)是单调递增函数；
(2)