高等代数矩阵的相抵合同相似模板.doc

莆田学院数学系
“高等代数选讲”课程论文
题目: 矩阵相抵、 协议、 相同
部分相关这三种等价关系联络、 差异和不变量
姓名: 阮超英
学号: 21041132
数学系级本科（1）班
年6月23日
矩阵相抵、 协议、 相同
部分相关这三种等价关系联络、 差异和不变量
[摘要] 矩阵相抵、 协议、 相同这三种等价关系之间既包含着联络, 又蕴涵着差异, 以及矩阵在各自关系下不变量。
[关键词] 相抵; 协议; 相同; 等价关系; 不变量
首先介绍矩阵相抵、 协议及相同概念引入及其定义以及等价关系证实。

矩阵相抵是在矩阵初等变换基础上引入, 故先了解一下初等变换下初等矩阵。
定义1 由单位矩阵经过一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵。
显然, 初等矩阵是方阵, 每个初等变换都有一个与之对应初等矩阵。
交换矩阵行与行位置
把矩阵行乘以一非零数（为数域中数）

把矩阵行倍加到行, 有
一样能够得到与列变换对应初等矩阵, 不难看出, 初等矩阵是可逆, 且逆矩阵还是初等矩阵。
定义2 矩阵与相抵（记为或称为等价）是指对进行行和列有限次初等变换后可得到, 亦即存在初等矩阵
显然, 矩阵相抵是一个等价关系, 它满足
对称性 若与相抵,则与相抵;
因为由定义2, 有: ,
这么可得到:
反身性 若和本身相抵;
因为:
传输性 若和相抵, 和相抵, 则和相抵。
因为:
故:
而矩阵相抵一个关键方面就是矩阵相抵。
多项式, 以下三种变换称为对“初等行变换”:
1．交换矩阵两行;
2．把矩阵某行乘以一非零数
3．把矩阵一行乘以一多项式加到另一行上去。
类似能够定义列初等变换。
定义3 若, 都是矩阵且经过初等变换后可变为, 则称矩阵与相抵。
与数字矩阵一样, 矩阵相抵关系是一个等价关系。即
<1>与本身相抵;
<2>若与相抵,则与相抵;
<3>若与相抵,与相抵,则与相抵。
矩阵协议
经过一个非退化线性替换,,替换后二次型与原来二次型之间有什么关系,即找出替换后二次型矩阵与原二次型矩阵之间关系。 设:
〈1〉
是一个二次型, 作非退化线性替换〈2〉
我们得到一个二次型
现在来看矩阵与关系
把〈2〉带入〈1〉, 有
易看出矩阵也是对称, 实际上
由此, 即得
这就是前后两个二次型矩阵关系, 与之对应, 我们引入
定义4 数域上矩阵成为协议, 假如有数域上可逆矩阵, 使 。
协议是矩阵之间一个关系, 不难看出协议关系含有
<1>反身性
<2>对称性 由即得
<3>传输性
因之, 协议是一个矩阵之间等价关系, 而且经过非退化线性替换, 新二次型矩阵与原二次型矩阵是协议。

引入:
定理1 设线性空间中线性变换在两组基
〈3〉
〈4〉
下矩阵分别为从基〈3〉到〈4〉过渡矩阵是, 于是

证实: 已知

于是


由此即得
由此我们引进相同定义
定义5 设, 为数域上两个级方阵, 假如能够找到数域上级可逆矩阵, 使得 , 就说相同于。记作。
相同是矩阵之间一个关系, 这种关系含有下面三个性质:
<1>反身性 , 这是因为
<2>对称性 假如, 那么。假如, 那么有X使
, 令, 就有
所以。
<3>传输性 假如, , 那么。
已知有, 使令
就有
2部分相关矩阵相抵、 协议、 相同充要条件及其证实
定理2 矩阵与相抵当且仅当二者行列式因子组相同或者不变因子组相同。
证实: 我们只需证行列式因子在任意一个初等变换下不变就能够了。
对第一个初等变换, 变换矩阵任两行, 显然阶子式最多改变一个符号, 所以行列式因子不变。
对第二种初等变换, 阶子式与变换后矩