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圆锥曲线中的四点共圆问题的研究
定理 设两条直线()与二次曲线:
()有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是
证明 由、组成的曲线即
，
所以，经过它与的四个交点的二次曲线一定能表成(、不同时为0)以下形式
①
必要性 若四个交点共圆，则存在，使方程①表示圆，故式①，否则①表示曲线，不表示圆，所以
充分性 当时，式①左边的展开式中不含的项，取时，令式①左边的展开式中含，项的系数相等，即，得
此时曲线①即②
的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆，一个点，无轨迹，而题中的四个交点在曲线②上，所以方程②表示圆。这就证得了四个交点共圆.
下面利用这个定理来解决圆锥曲线中四点共圆问题.
例1 设、是椭圆上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于、两点.
(Ⅰ)确定的取值X围，并求直线的方程；
(Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得、、、四点在同一个圆上？并说明理由
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. (2005年XX卷)
解 (Ⅰ) 设点,在椭圆上，因为点是线段的中点，所以，，即，.
又，，两式相减，得
所以
故直线的方程为,即
又由N（1，3）在椭圆内，得
∴的取值X围是（12，+∞）.
(Ⅱ)因为是的垂直平分线，
所以直线的方程为，即
因为，由定理，知、、、四点在同一个圆上.
例2 设、是双曲线上的两点，点是线段的中点，
(Ⅰ)求直线的方程；
(Ⅱ)如果线段的垂直平分线与双曲线相交于、两点，那么、、、四点是否在同一个圆上，为什么？(2002年XX卷)
解 (Ⅰ)设,在双曲线上，因为点是线段的中点，所以，，即，.
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