判断函数单调性地常用方法.doc

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判断函数单调性的常用方法
一、定义法
设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，假如f(x1)＜f(x2)，如此此函数为增函数；反知，假如f(x1)＞f(x2)，如此此函数为减函数.
证明：当时，。
证明：令
所以，当时，，所以为严格递增的
，所以。
二、性质法
除了用根本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题.
假如函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，如此在区间B上有：
⑴ f(x)与f(x)＋C〔C为常数〕具有一样的单调性；
⑵ f(x)与c•f(x)当c＞0具有一样的单调性，当c＜0具有相反的单调性；
⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，如此f(x)＋g(x)都是增(减)函数；
⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，如此f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；
三、同增异减法
是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y＝f [g(x)]满足“同增异减〞法(应注意层函数的值域)，可令 t＝g(x)，如此三个函数 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中，假如有两个函数单调性一样，如此第三个函数为增函数；假如有两个函数单调性相反，如此第三个函数为减函数.
注：〔1〕奇函数在对称的两个区间上有一样的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；
〔2〕互为反函数的两个函数有一样的单调性；
〔3〕如果f(x)在区间D上是增〔减〕函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增〔减〕函数.
设单调函数为外层函数，为层函数
(1)假如增，增，如此增.
(2)假如增，减，如此减.
(3)假如减，减，如此增.
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(4)假如减，增，如此减.
例1. 求函数的单调区间.
教学意图：，在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性，先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法.
解题过程：
外层函数：
层函数：
层函数的单调增区间：
层函数的单调减区间：
由于外层函数为增函数
所以，复合函数的增区间为：
复合函数的减区间为：
四、求导法
导数小于0就是递减，大于0递增，等于0，是拐点极值点
求函数值域的常用方法
1．观察法
用于简单的解析式。
y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).
多用于二次(型)函数。
y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞〕
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞〕
3. 换元法
多用于复合型函数。
通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。
特别注意中间变量〔新量〕的变化围。
y=-x+2√( x-1)+2
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令t=√(x-1),
如此t≤0, x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤