四点共圆基本性质及证明.docx

四点共圆基本性质及证明
四点共圆基本性质及证明
四点共圆基本性质及证明
四点共圆
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为
“四点共圆”。四点共圆有三个性质：
（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；
（2）圆内接四边形 的对角互补；
（3）圆内接四边形的外角等于 内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行 证明。
定理
判定定理
方法 1： 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形， 且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线 夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）
方法 2 ：把被证共圆的四点连成四边形， 若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）
托勒密定理
若 ABCD四点共圆（ ABCD按顺序都在同一个圆上），那么 AB DC+BCAD=AC BD。
黄忠明


四点共圆基本性质及证明
四点共圆基本性质及证明
四点共圆基本性质及证明
例题：证明对于任意正整数 n 都存在 n 个点使得所有点间两两距离为整数。
解答：归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意 n 都存在 n 个
点使得所有点间两两距离为整数， 且这 n 个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。 n=1，n=2 很轻松。当 n=3 时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为 3，4，5 的三角形。我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。假设对于 n 大于等于 3 成立，我们来证明 n+1。假设直径为 r （整数）。找
一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形 ABC （边长 a<b<c）。把原来的圆扩大到原来的 c 倍，并把一个边长为 ra<rb<rc 的三角形放进去，使得 rc 边和放大后的直径重合。这个三角形在圆上面对应了第 n+1 个点，记为 P。于是根据 Ptolomy 定理， P 和已存在的所有点的距离都是一个有理数。（考虑 P，这个点 Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是 PQ是一个有理数因为 Ptolomy 定理里的其它数都是整数。 ）引入一个新的点 P 增加了 n 个新的有理数距离，记这 n 个有理数的最大公分母为 M。最后只需要把这个新的图扩大到原来的 M倍即可。归纳法成立，故有这个命题。
反证法证明
现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。