数值实验报告六计算142许莎莎.docx

数值实验报告六计算142许莎莎
数值实验报告六计算142许莎莎
数值实验报告六计算142许莎莎
数值分析实验六
专业班级：计算 142 姓名：许莎莎 学号：17
1）实验目的
本次实验目的是通过利用 MATLAB编写程序，利用迭代法求解非线性方程和方程组，一
方面可以加深对数值分析课堂所讲的求解非线性方程和方程组的二分法、 不动点迭代法、 和
牛顿法的理解， 了解初值对迭代法的影响， 可以更加熟练的掌握关于迭代法收敛性的判定以
及收敛速度的计算。另一方面也进一步熟悉利用 MATLAB的编程，通过编写的程序，得到相
应的结果，与所学进行对比分析，进一步加深对课堂所学的迭代法的理解。
2）实验题目
1、迭代函数对收敛性的影响
实验题目
用迭代法求方程的根
3
f (x) 2x x 1 0
方案 1：化方程为等价方程
3 1 ( )
x
x x
2
取初值 x0 0 ，迭代 10 次
方案 2：化 f (x) 0 为等价方程
3
x 2x 1 (x)
取初值 x0 0 ，迭代 10 次，观察其计算值，并加以分析。
2、初值的选取对迭代法的影响
实验题目
用牛顿法求方程
3 1 0
x x 在x 附近的根。
方案 1：使用牛顿法并取 x0 ，由
x x
k 1 k
f ( x )
k
f '(x )
k
得
3
x x
k k
x x
k 1 k 2
3x 1
k
1
迭代 10次。
方案 2：取
x0 0 ，使用同样的公式
3
x x
k k
1
数值实验报告六计算142许莎莎
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数值实验报告六计算142许莎莎
x x
k 1 k 2
3x 1
k
迭代 10次，观察并分析原因。
3、收敛性与收敛速度的比较
实验题目
求方程
3
f (x) x sin x 12x 1 的全部实根，
10
6
方案 1：用牛顿法求解；
方案 2：用简单迭代法；
取相同迭代初值，比较各方法的收敛速度。
3）实验原理与理论基础
牛顿法：
设已知方程 f (x) 0有近似根
x （假定 f (xk ) 0），将函数 f (x) 在点 xk 展开，有
k
f (x) f (xk ) f (xk )(x xk ),
于是方程 f (x) 0可近似地表示为
f (xk ) f (xk )(x xk ) 0
f (x )
k
这是个线性方程，记其根为 , 0,1 ...
x 1 x k
k k
f (x )
k
这就是牛顿法
迭代法原理
将非线性方程 f ( x) = 0 化为一个同解方程 x (x) ，并且假设 (x) 为连续函数，任取
一个初值
x ，代入 x (x) 的右端，得 x1 (x0 ) ，继续，则 x2 ( x1 ) ，⋯⋯，
0
x ，(k 0,1, 2, ) ，称 x ( ) 式为求解非线性方程 x (x) 的简单迭代
k (x ) k x
1 k 1 k
法。
收敛性与收敛阶
设迭代过程 x ( ) 收敛于方程 x (x) 的根
k x