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第四章 随机变量的数字特征
矩及协方差矩阵
1、定义
若 EX k 存在，称之为 X 的 k 阶原点矩。
若 E ( X  EX ) k 存在，称之为 X 的 k 阶中心矩。
若 E(X  EX )k (Y  EY)l 存在，称之为 X 和 Y 的 k+l
阶混合中心矩。
所以 EX 是一阶原点矩，DX 是二阶中心矩，
协方差 Cov(X,Y)是二阶混合中心矩。
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第四章 随机变量的数字特征
例1
设随机变量 X ~ N0，  2 ，试求 EX n ．
解：
X  EX X
令：Y   则 Y ~ N0， 1．
DX 
所以，
 n  y 2
 
n n n   n y n f y dy  y ne 2 dy
EX   EY   Y 
 2 
⑴．当n为奇数时，由于被积函 数是奇函数，所以
EX n  0 ．
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第四章 随机变量的数字特征
(2)．当n为偶数时，由于被积函 数是偶函数，所以
 y2
2 n 
EX n  y n e 2 dy
2 
y 2 0
令：  t, 则 y  2 t ,
2
 1 1 1
2   
dy  t 2 dt  2 2 t 2 dt
2
n  n1
 2 n 1
EX n  2 2 t 2 e t dt
2 
 0
n  n1 n
n 1  n n  1
 2 2 t 2 e t dt  2 2 ( )
  2 返回主目录
0
第四章 随机变量的数字特征
n
22 n  n 1 
   其中 (t)  x t1ex dx.
 2 
  0
利用 函数的性质： r 1 rr，得
n n
22 n n 1  n 1 22 n n 1 n  3  n  3 
EX n        
 2  2   2 2  2 
n
22 n n 1 n  3 1  1 
     
 2 2 2  2 
n
2 n
2 n 1!! n