专题——定积分及其应用.doc

1 专题——定积分及其应用 定积分的概念与性质定积分无论在理论上还是实际应用上,都有着十分重要的意义,它是整个高等数学最重要的内容之一. 实例分析 , 我们已经学会计算多边形和圆的面积, 至于任意曲边所围成的平面图形的面积, 只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决. 所谓曲边梯形, 就是在直角坐标系中, 由直线 0,,???ybxax 及曲线)(xfy?所围成的图形,如图 (a),(b),(c) 都是曲边梯形. 现在求 0)(?xf 时,在连续区间],[ba 上围成的曲边梯形的面积 A(如图 (a),(b) 所示),,我们按下述步骤来计算: (1) 分割——将曲边梯形分割成小曲边梯形在区间],[ba 内任意插入 1?n 个分点: bxxxxxa nn???????????1210, 把区间],[ba 分成 n 个小区间: ],[, ],[ ],,[ ],,[ 1,12110nniixxxxxxxx ????,第 i 个小区间的长度为),,1( 1nixxx iii????????,过每个分点作垂直于 x 轴的直线段,它们把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形(图 ) ,小曲边梯形的面积记为),2,1(niA i?????.210xxxa? oiixx 1?bxx nn??1 x i? y图 aox aobx yaobx b yy (a) (b) (c) 图 2 (2) 近似——用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积在小区间],[ 1iixx ?上任取一点),,2,1(ni i?????,作以],[ 1iixx ?为底,)( if?为高的小矩形,用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,则),,2,1()(nixfA iii????????. (3) 求和——求n 个小矩形面积之和 n 个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和 A ,即 nAAAA?????????? 21nnxfxfxf??????????)()()( 2211??? i ni ixf????)( 1?. (4) 取极限令?? inix????1 max ?,当分点 n 无限增多且 0??时,和式 i ni ixf???)( 1?的极限便是曲边梯形的面积 A,即 i ni ixfA?????)( lim 1 0??. 2 .变速直线运动的路程设一物体作变速直线运动,其速度是时间 t 的连续函数)(tvv?,求物体在时刻 1Tt?到 2Tt?间所经过的路程 S . 我们知道,匀速直线运动的路程公式是: vtS?,现设物体运动的速度 v 是随时间的变化而连续变化的,不能直接用此公式计算路程,而采用以下方法计算: (1) 分割——把整个运动时间分成 n 个时间段在时间间隔],[ 21TT 内任意插入 1?n 个分点: 21101TttttT nn??????????, 把],[ 21TT 分成 n 个小区间:],[, ],[ ],,[ ],,[ 1,12110nniitttttttt ????????,第i 个小区间的长度为),,2,1( 1nittt iii????????第i 个时间段内对应的路程记作),2,1(niS i?????. (2) 近似——在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程在小区间],[ 1iitt ?上任取一点),2,1(ni i?????, 用速度)( iv?近似代替物体在时间],[ 1iitt ?上各个时刻的速度,则有),,2,1()(nitvS iii????????. 3 (3) 求和——求n 个小时间段路程之和将所有这些近似值求和,得到总路程的近似值,即 nSSSS?????????? 21nitvtvtv??????????)()()( 2211??? i ni itv????)( 1?.(4) 取极限令?? init????1 max ?,当分点的个数 n 无限增多且 0??时,和式 i ni itv???)( 1?的极限便是所求的路程 S .即i ni itvS?????)( lim 1 0??从上面两个实例可以看出,虽然二者的实际意义不同,但是解决问题的方法却是相同的,即采用“分割-近似-求和- 取极限”的方法,最后都归结为同一种结构的和式极限问题. 类似这样的实际问题还有很多,我们抛开实际问题的具体意义,抓住它们在数量关系上共同的本质特征,从数学的结构加以研究, 定积分的概念定义 设函数)(xf 在区间],[ba 上有定义, 任取分点 bxxxxxa nn???????????1210 把区间],[ba 任意分割成 n 个小区间],[