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线性方程组
第三章 线性方程组
2021/8/26
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线性方程组
主要内容：
消元法
n 维向量空间
线性相关性
矩阵的秩
线性方程组有解的判断定理
线性方程组有解的结构
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线性方程组
§1 消元法
§1 消 元 法
考虑一般的线性方程组
当s=n时，若D≠0，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。
当s=n时，若D = 0，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。
当s≠n时，没有求解线性方程组的有效方法。
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线性方程组
§1 消元法
● 线性方程组的矩阵表示法
其中
系数矩阵
未知向量
右端向量
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线性方程组
§1 消元法
用一个非零的数乘以某一个方程；
● 线性方程组的初等变换
把某一个方程的倍数加到另一个方程；
互换两个方程的位置；
用一个非零的数乘以矩阵的某一行；
● 矩阵的初等行变换
把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行；
交换矩阵中某两行的位置；
方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。
方程组的初等变换是否会改变线性方程组的解？
定理：方程组的初等变换将一个
线性方程组变为一个与它同解的
线性方程组。
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线性方程组
§1 消元法
● 增广矩阵
由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵
称为该线性方程组的增广矩阵。
线性方程组与增广矩阵
是一一对应的
定理：对线性方程组的增广矩阵 进行初等行变换化为 ，
则以 为增广矩阵的线性方程组与原线性方程组同解。
一个线性方程组的增广矩阵可通过初等行变换化为怎样的简单形式？
阶梯形矩阵
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线性方程组
§1 消元法
定理：任何一个s×n阶矩阵A，都可通过一系列初等行变换
化为一个阶梯形矩阵。
定理：线性方程组与以下形式的阶梯形线性方程组同解。
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线性方程组
§1 消元法
当 时，该线性方程组无解。
当 时，该方程组有解，并分两种情况：
(i) 若 r = n，则阶梯形方程组为
方程组有唯一解。
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线性方程组
§1 消元法
(ii) 若 r < n，则阶梯形方程组为
可改写为
方程组有无穷多解。
自由未知量
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线性方程组
例题：
例1、 解线性方程组
例2、 解线性方程组
§1 消元法
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