导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法.doc

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导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法
1．设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是
A．　　　 B． C． 　 D．
【答案】A
【解析】由，首先令得，排除B，D．
令，那么，
①　当时，有，所以函数单调递增，所以当时， ，从而．
②　当时，有，所以函数单调递减，所以当时， ，从而．综上．应选A．
【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用．通过分析解析式的特点，考察了分析问题和解决问题的能力．
2．函数，．
〔Ⅰ〕讨论函数的单调性；
〔Ⅱ〕证明：假设，那么对任意，，有．
解：〔Ⅰ〕的定义域为．
…………………2分
〔i〕假设即，那么，
故在单调增加．
〔ii〕假设，而，故，那么当时，；
当及时，．故在单调减少，
在单调增加．
〔iii〕假设，即，同理可得在单调减少，在单调增加．
〔II〕考虑函数．
那么 ．
由于故，即在单调增加，从而当时有
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，即，故，当时，有． ………………………………12分
3．曲线．从点向曲线引斜率为
的切线，切点为．
〔1〕求数列的通项公式；
〔2〕证明：．
【解析】曲线是圆心为，半径为的圆，切线
〔Ⅰ〕依题意有，解得，又，
联立可解得，
〔Ⅱ〕，
先证：，
证法一：利用数学归纳法
当时，，命题成立，
假设时，命题成立，即，
那么当时，
∵，
故．
∴当时，命题成立
故成立．
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证法二：，，
下证：．
不妨设，令，
那么在上恒成立，故在上单调递减，
从而，即．
综上，成立．
4．【09全国Ⅱ·理】22．〔本小题总分值12分〕
设函数有两个极值点，且．
〔I〕求的取值围，并讨论的单调性；
〔II〕证明：．
【解】〔I〕由题设知，函数的定义域是
且有两个不同的根，故的判别式，即
且 …………………………………①
又故．因此的取值围是．
当变化时，与的变化情况如下表：
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因此在区间和是增函数，在区间是减函数．
〔II〕由题设和①知
于是　　　　．
设函数 　
那么 　
当时，；
当时，故在区间是增函数．
于是，当时，
因此 ．
5．【2008年理】　21．〔此题总分值12分〕
函数其中为常数．
〔I〕当时，求函数的极值；
〔II〕当时，证明：对任意的正整数，当时，有
【标准答案】
〔Ⅰ〕解：由得函数的定义域为，
当时，，所以．
〔1〕当时，由得，，
此时．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
〔2〕当时，恒成立，所以无极值．
综上所述，时，
当时，在处取得极小值，极小值为．
当时，无极值．
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