高三数学导数专题例题及知识点总结.doc

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导数专题
一、导数的根本应用
〔一〕研究含参数的函数的单调性、极值和最值
根本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值
根本方法：一般通法：利用导函数研究法
特殊方法：〔1〕二次函数分析法；〔2〕单调性定义法
第一组本组题旨在强化对函数定义域的关注，以及求导运算和分类讨论的能力与技巧
【例题1】函数，求导函数，并确定的单调区间．
解：．
令，得．
当，即时，，所以函数在和上单调递减．
当，即时，的变化情况如下表：
0
当，即时，的变化情况如下表：
0
所以，时，函数在和上单调递减，在上单调递增，
时，函数在和上单调递减．
时，函数在和上单调递减，在上单调递增．
第二组 本组题旨在强化对导函数零点进展分类讨论的意识、能力和技巧
【例题2】函数的图象过点，且函数的图象关于y轴对称.〔Ⅰ〕求的值及函数的单调区间；〔Ⅱ〕假设，求函数在区间的极值.
解：〔Ⅰ〕由函数图象过点，得，………①
由，得，那么；
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而图象关于轴对称，所以－，所以，
代入①得 .于是.
由得或，故的单调递增区间是，；
由得，故的单调递减区间是.
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，令得或.
当变化时，、的变化情况如下表：
f'(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
增
极大值
减
极小值
增
由此可得：当时，在有极大值，无极小值；
当时，在无极值；
当时，在有极小值，无极大值；
当时，在无极值.
综上所述，当时，有极大值，无极小值；当时，有极小值，无极大值；当或时，无极值.
点评：此题是前面两个例题的变式，同样考察了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平.
【例题3】函数，a＞0，
(I)讨论的单调性;
(II)设a=3，求在区间[1，]=…是自然对数的底数.
解：〔Ⅰ〕由于,令得
当，即时，恒成立，∴在上都是增函数.
当，即时，
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由得或
∴或或
又由得，∴
综上,当在上都是增函数；
当在及上都是增函数，
在是减函数.
〔2〕当时，由〔1〕知，在[1，2]上是减函数，在[上是增函数.
又
∴函数在区间[1，]上的值域为.
点评：
〔1〕第一问在前面例题的理论根底上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧；
〔2〕第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比拟简单，是一个承上启下的过渡性问题.
〔二〕利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值围
根本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值围
根本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等
【例题4】函数的图象在与轴交点处的切线方程是.
〔I〕求函数的解析式；
〔II〕设函数，假设的极值存在，数的取值围以及函数取得极值时对应的自变量的值.
解：〔I〕由,切点为(2,0),故有,即……①
又，由得……②
联立①②，
〔II〕因为令
当函数有极值时，，得.
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