函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.doc

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函数对称性、周期性和奇偶性
关岭民中数学组
(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：〔奇偶性是一种特殊的对称性〕
1、奇偶性:〔1〕 奇函数关于〔0，0〕对称，奇函数有关系式
〔2〕偶函数关于y〔即x=0〕轴对称，偶函数有关系式
2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性
〔1〕函数的轴对称：
函数关于对称
也可以写成或
假设写成：，那么函数关于直线对称
证明：设点在上，通过可知，，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。
说明：关于对称要求横坐标之和为，纵坐标相等。
∵关于对称，∴函数关于对称
∵关于对称，∴函数关于对称
∵关于对称，∴函数关于对称
〔2〕函数的点对称：
函数关于点对称
或
假设写成：，函数关于点对称
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证明：设点在上，即，通过
可知，，所以，所以点
也在上，而点与关于对称
得证。
说明:关于点对称要求横坐标之和为,纵坐标之和为,如之和为。
〔3〕函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，那么有可能会出现关于对称，比方圆它会关于y=0对称。
〔4〕复合函数的奇偶性的性质定理：
性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，那么f[g(－x)]＝f[g(x)]。
　　复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，那么f[g(－x)]＝－f[g(x)]。
性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，那么f(x＋a)＝f(－x＋a)；
　　复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，那么f(－x＋a)＝－f(a＋x)。
性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，那么y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。
　　复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，那么y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。
总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程
总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。
总结：x的系数同为为1，具有周期性。
(二)、两个函数的图象对称性
1、与关于X轴对称。
证明：设上任一点为那么，所以经过点
∵与关于X轴对称，∴与关于X轴对称.
注：换种说法：与假设满足，即它们关于对称。
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