总结汇报-极限计算方法总结.doc

三教上人（A+版-Applicable Achives）
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三教上人（A+版-Applicable Achives）
极
线
的
运
算
法
则
班级:
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《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果
1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的
极限严格定义证明，例如：；；
；等等
（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则
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三教上人（A+版-Applicable Achives）
定理1已知，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）
（2）
（3）
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限
（1）
（2）；
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
例如：，，；等等。
4．等价无穷小
定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
～～～～～～。
说明：当上面每个函数中的自变量G换成时（），仍有上面的等价
关系成立，例如：当时，～；～。
定理4如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。
5．洛比达法则
定理5假设当自变量G趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；
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三教上人（A+版-Applicable Achives）
（2）和都可导，且的导数不为0；
（3）存在（或是无穷大）；
则极限也一定存在，且等于，即=。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
6．连续性
定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有。
7．极限存在准则
定理7（准则1）单调有界数列必有极限。
定理8（准则2）已知为三个数列，且满足：
（1）
（2），
则极限一定存在，且极限值也是a，即。
二、求极限方法举例
用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
例1
解：原式=。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2
解：原