函数的周期性与对称性.doc

函数的周期性与对称性.doc函数的周期性和对称性
一、知识梳理＆方法总结
周期性的定义
如果存在一个非零常数 T
，使得对于函数定义域内的任意
x ，都有 f x T
f
x
，
则称 f x 为周期函数；若
f x 的周期中，存在一个最小的正数，则称它为
f
x
的
最小正周期；
注：
①
定义中“存在常数 T 0 ”, 其意是可存在正数
T ，也可存在负数 T ，还可二者都存在，
不是正负同时存在才行。
②
定义中“ x 取定义域内每一个值”时，都有
f x T
f x ，即恒成立的意思。
③
周期函数的定 义 域 有 不 同 的 三种形式： 定义域为左侧无限区间； 定义域为右侧无限区
间；定义域双侧无限区间；
④ 周期 T 有不 同 的 三种形式：有正周期不一定有负周期；有负周期不一定有正周期；有
正周期不一定有最小正周期
⑤ 若周期函数
f x , x R
的周期为
T
，则
f ( x（)
是周期函数，且周期为
T
0）
|
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函数对称性的一些结论
(1)
f
a
x
f
a
x
f x
f
2a xx a为对称轴
(2)
f
a
x
f
a
x
2c
a,c
为对称中心
一般地，
(1)
f (a
x)
f (b
x)
x
a b 为对称轴
2
(2)
f ( a
x)
f (b
x)
c
( a b , c )为对称中心
2
2
函数周期性的一些结论
(1)
若 y
f ( x) 满 足 f (x a)
f ( x) 或 f ( x a)
1
的 周 期 为
, 则 y f ( x)
f
x
2 | a | ；
(2)
如果函数 y
f (x) 对于一切 x
R, 都有 f ( x a)
f ( x b) ，那么 y
f (x) 周
期为 T
a
b
对称性和周期性的关系
(1)
若 y
f ( x) 关于点 ( a,0) , (b,0) 对称 , 则 f ( x) 的周期为 2 | a b | ；
(2)
若 y
f ( x) 的图象关于直线 x
a , x b( a
b) 对称 , 则函数 y
f (x) 的周期为
2 | a
b | ；
(3)
若 y
f (x) 的 图象关 于直 线 x
a 和 点 (b,0)
对 称 ， 则函 数 y
f ( x) 的 周 期 为
4 | a
b |
二、典型例题分类解析
经典题型一——函数的对称性
【例一】 对于定义在 R 上的函数 f ( x) ，有下述命题：
① 若 f ( x) 是奇函数，则
f ( x
1)
的图像关于点 A(1 , 0) 对称；
② 若对 x
R ，恒有 f ( x
1)
f
(x 1) ，则 f ( x) 的图像关于直线 x
1对称；
③ 若函数 f
( x 1) 的图像关于直线
x 1对称，则 f ( x) 为偶函数；
④ 函数 f (1
x) 与函数 f (1
x) 的图像关于直线 x 1对称．
其中正确命题的序号为 ________．
1
【例二】 已知函数 f (x) 的图像与函数 y x 2 的图像关于点 A( 0 ,1) 对称．
x
（ 1）求 f ( x) 的解析式；
（ 2）若 g( x) f (x)
a
a 的取值范围．
且 g( x) 在区间 (0 , 2] 上为减函数，求正数
x
经典题型二——求函数的解析式
【例三】 设函数 y f ( x) 是最小正周期为 2的偶函数，它在区间 [0 , 1] 上的图像为如图
所示的线段 AB ，求在区间 [1, 2] 上时 f ( x) 的表达式．
【例四】 设 f ( x) 是定义在 (
,
) 上，以 2 为周期的