函数的周期性及对称性.doc

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函数的周期性与对称性
1、函数的周期性
若a是非零常数,若对于函数y＝f<x>定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y＝f<x>是周期函数,且2|a|是它的一个周期。
①f<x＋a>＝f<x－a> ②f<x＋a>＝－f<x>③f<x＋a>＝1/f<x> ④f<x＋a>＝－1/f<x>
2、函数的对称性与周期性
性质5若函数y＝f<x>同时关于直线x＝a与x＝b轴对称,则函数f<x>必为周期函数,且T＝2|a－b|
性质6、若函数y＝f<x>同时关于点〔a,0与点〔b,0中心对称,则函数f<x>必为周期函数,且T＝2|a－b|
性质7、若函数y＝f<x>既关于点〔a,0中心对称,又关于直线x＝b轴对称,则函数f<x>必为周期函数,且T＝4|a－b|
〔自身对称
若,则具有周期性；若,则具有对称性："内同表示周期性,内反表示对称性"。
1、图象关于直线对称
推论1：的图象关于直线对称
推论2、的图象关于直线对称
推论3、的图象关于直线对称
2、的图象关于点对称
推论1、的图象关于点对称
推论2、的图象关于点对称
推论3、的图象关于点对称
例题分析：
1．设是上的奇函数,,当时,,则等于 < >
〔 〔B 〔 〔D
2、〔XX已知定义在上的奇函数满足,则的值为〔
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．设是定义在上的奇函数,求
4．函数对于任意实数满足条件,若,则___
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5．已知是定义在上的奇函数,且它的图像关于直线对称。
〔1求的值；〔2证明是周期函数；
〔3若,求时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。
<x>是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f<x＋2>＝－f<x>．当x∈[0,2]时,f<x>＝2x－x2.<1>求证：f<x>是周期函数；<2>当x∈[2,4]时,求f<x>的解析式．
巩固练习：
1．函数f<x>是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f<x>＝x－1,则不等式xf<x>>0在[－1,3]上的解集为<　　>
A．<1,3> B．<－1,1>C．<－1,0>∪<1,3> D．<－1,0>∪<0,1>
2．设函数f<x>是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f<x＋1>＝f<x－1>,已知当x∈[0,1]时,f<x>＝1－x,则：①2是函数f<x>的周期；②函数f<x>在<1,2>上递减,在<2,3>上递增；
③函数f<x>的最大值是1,最小值是0；④当x∈<3,4>时,f<x>＝x－3.
其中所有正确命题的序号是________．
3．设定义在R上的奇函数y＝f<x>,满足对任意t∈R,都有f<t>＝f<1－t>,且x∈时,f<x>＝－x2,则f<3>＋f的值等于<　　>A．－ B．－C．－ D．－
4．若偶函数y＝f<x>为R上的周期为6的周期函数,且满足f<x>＝<x＋1><x－a><－3≤x≤3>,则f<－6>等于________．
5、〔1;
〔2
〔3若设
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6．设f<x>是<－∞,＋∞>上的奇函数,f<x＋2>＝－f<x>,当0≤x≤1时,f<x>＝x.
<1>求f<3>的值；<2>当－4≤x≤4时,求f<x>的图像与x轴所围成图形的面积．
7．设是定义在上以2为周期的周期函数,且是偶函数,在区间上,求时,的解析式.
,
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判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.
,周期,,在上是二次函数,且在时函数取得最小值.
〔1证明：；〔2求的解析式；
〔3求在上的解析式.
,〔1判断的奇偶性；〔2证明：
11、定义在上的函数是减函数,且是奇函数,若,求实数的范围。
12．〔XX文已知定义域为的函数是奇函数。
〔Ⅰ求的值；〔Ⅱ若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围。
复习题：
已知数列,其前项和为,点在抛物线上；各项都为正数的
等比数列满足.
〔Ⅰ求数列,的通项公式；〔Ⅱ记,求数列的前项和．
2．在△中,角、、所对的边分别是、、,且〔其中为△的面积．
〔Ⅰ求；〔Ⅱ若,△的面积为3,求．
3．某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数依次为1,2,3,4,5．现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行