关于优化方法的数学基础
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§2-1 方向导数与梯度
一、函数的方向导数
一个二元函数F(x1,x2)在X0点处的偏导数定义为:
分别是函数在点X0处沿坐标轴方向的变化率.
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函数 在点 处沿某一方向的变化率如图2-1
称它为函数沿此方向的方向导数
（2-1）
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和 也可看成是函数分别沿坐标轴方向
的方向导数
推导方向导数与偏导数之间的数量关系：
偏导数是方向导数的特例
（2-2）
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n元函数在点x0处沿s方向的方向导数
O
x2
x1
x10
x20
x0
x1
x2
s
x
S
1
2
图2-3
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二、 梯度
二元函数的梯度:
为函数F(x1，x2)在x0点处的梯度。
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梯度的模：
设
梯度方向和s方向重合时，方向导数值最大。
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梯度方向是函数值变化最快的方向，而梯度的模就是函数变化率的最大值 。
图2-4 梯度方向与等值线的关系
设：
则有
为单位向量。
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多元函数的梯度
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函数的梯度方向与函数等值面相垂直，也就是和等值面上过x0的一切曲线相垂直。
由于梯度的模因点而异，即函数在不同点处的最大变化率是不同的。因此，梯度是函数的一种局部性质。
梯度 模：
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