菲克定律应用.doc

1 扩散动力学方程——菲克定律
菲克第一定律

1858年，菲克〔Fick〕参照了傅里叶〔Fourier〕于1822年建立的导热方程，建立定量公式。
在时间内，沿方向通过处截面所迁移的物质的量与处的浓度梯度成正比：
图7-1 扩散过程中溶质原子的分布
即
根据上式引入扩散通量概念，那么有：
〔7-1〕
图7-2 溶质原子流动的方向与浓度降低的方向相一致
式〔7-1〕即菲克第一定律。
式中称为扩散通量，常用单位是/〔；
浓度梯度；
D扩散系数，它表示单位浓度梯度下的通量，单位为/或；
负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反见图7-2。

微观模型：
设任选的参考平面1、平面2上扩散原子面密度分别为n1和n2，假设n1＝n2，那么无净扩散流。
假定原子在平衡位置的振动周期为τ，那么一个原子单位时间内离开相对平衡位置跃迁次数的平均值，即跃迁频率G为
图7-3 一维扩散的微观模型
(7-2)
由于每个坐标轴有正、负两个方向，所以向给定坐标轴正向跃迁的几率是。
设由平面l向平面2的跳动原子通量为J12，由平面2向平面1的跳动原子通量为J21
(7-3)
(7-4)
注意到正、反两个方向，那么通过平面1沿x方向的扩散通量为
(7-5)
而浓度可表示为
(7-6)
式(7-6)中的1表示取代单位面积计算，表示沿扩散方向的跳动距离〔见图7-3〕，那么由式(7-5)、式(7-6)得
(7-7)
式(7-7)即菲克第一定律的微观表达式，其中
(7-8)
式〔7-8〕反映了扩散系数与晶体构造微观参量之间的关系，是扩散系数的微观表达式。
三维情况下，对于各向同性材料〔D一样〕，那么
〔7-9〕
式中：为梯度算符。
对于各向异性材料，扩散系数D为二阶张量，这时，
〔7-10〕
对于菲克第一定律，有以下三点值得注意：
〔1〕式〔7-1〕是唯象的关系式，其中并不涉及扩散系统内部原子运动的微观过程。
〔2〕扩散系数反映了扩散系统的特性，并不仅仅取决于某一种组元的特性。
〔3〕式〔7-1〕不仅适用于扩散系统的任何位置，而且适用于扩散过程的任一时刻。其中，、、可以是常量，也可以是变量，即式〔7-1〕既可适用于稳态扩散，也可适用于非稳态扩散。
菲克第二定律
当扩散处于非稳态，即各点的浓度随时间而改变时，利用式〔7-1〕不容易求出C(x,t)。但通常的扩散过程大都是非稳态扩散，为便于求出C(x,t)，菲克从物质的平衡关系着手，建立了第二个微分方程式。
一维扩散
图7-4 扩散流通过微小体积的情况
如图7-4所示，在扩散方向上取体积元，Jx和分别表示流入体积元及流出体积元的扩散通量，那么在时间内，体积元中扩散物质的积累量为
那么有
当、＞0时，有
将式〔7-1〕代入上式得
〔7-11〕
如果扩散系数与浓度无关，那么式〔7-11〕可写成
〔7-12〕
一般称式〔7-11〕、式〔7-12〕为菲克第二定律。
三维扩散
〔1〕直角坐标系中
〔7-13〕
当扩散系数与浓度无关，即与空间位置无关时，
〔7-14〕
或简记为：
〔7-15〕
式中：为Laplace算符。
〔2〕柱坐标系中
通过坐标变换 ，体积元各边为，那么有：
〔7-16〕
对柱对称扩散，且与浓度无关时有
〔7-17〕
〔3〕球坐标系中
通过坐标变换 ，体积元各边为，，，那么有：
〔7-18〕
对球对称扩散，且与浓度无关时有：
〔7-19〕
图7-5 菲克第一、第二定律的关系