高中数学选修4-5知识点.docx

苏教版高中数学选修4-5知识点
1不等式的基本性质
1 .实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数之间具有--对应关系.
(2)设a、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是 A、B当点A在点B的左边时，a<b ；当点A在点B
的右边时‘ a>b.
(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系 (不等式的意义)
a>ba— b>0
a = ba -b b = 0
a<ba— b<0
(4)两个实数比较大小的步骤
①作差；②变形；③判断差的符号；④结论.
2•不等关系与不等式
(1)不等号有工，〈共5个.
(2)相等关系和不等关系
任意给定两个实数，它们之间要么相等，要么不相等•现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的，不等是 普遍的、绝对的，因此绝大多数的量都是以不等关系存在的.
(3)不等式的定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式.
(4)不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系.

⑴对称性：a>bb<a ;
⑵传递性：a>b, b>ca>c ;
(3)可加性：a>b, c € Ra+ c>b+ c ;
(4)加法法则：a>b, c>da+ c>b+ d ;
(5)可乘性：a>b, c>Oac>bc ; a>b, c<0ac<bc ;
(6)乘法法则：a>b>0, c>d>0ac>bd ;
(7)乘方法则:a>b>0, ne N 且 n >2 an>bn;
(8)开方法则:a>b>0, n€ N 且 n>2 na>nb.
1 1
(9 )倒数法则,即a>b>-<C.
a b

.重要不等式
定理1 ：如果a, be R,那么a2+ b2>2ab，当且仅当a二b时，等号成立.
.基本不等式
a + b
⑴定理2 ：如果a, b>0,那么a b 2. ab ( ㊁〉ab)，当且仅当a= b时，等号成立.
(2)定理2的应用：对两个正实数 x, y,
S2
①如果它们的和S是定值，则当且仅当x二y时，它们的积P取得最大值，最大值为
②如果它们的积P是定值，则当且仅当x二y时，它们的和S取得最小值，最小值为2,P.
—a+ b
.基本不等式，26\¥十的几何解释
如图，AB是。。的直径，C是AB上任意一点，= a, BC= b,则AB= a+ b,O O的半 径 R= a-+b, Rt △ ACD RtA DCB CD二 AC- BC= ab, CD={S), CDc lb〈生岁，当且仅当 C 点与 O 点重合 zAB 口” 一 a+ b
时，CD= R二——，即，ab二 2.
4•几个常用的重要不等式
(1)如果a€ R,那么a2>0，当且仅当a=0时取等号；
(a+ b) 2
(2)如果a, b>0,那么ab< ,当且仅当a二b时等号成立.
4
1
(3)如果a>0,那么a+.》2，当且仅当a= 1时等号成立.
a
a b
(4)如果ab>0,那么八+彳》2 ,当且仅当a二b时等号成立.
.(定理3)如果a、b、c€R+，那么a be
3 abc
(咒严〉3 abc)，当且仅当
a二b二c时，等号成
立・即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
3i+ 32+ • • 3n n
、a2,…， an € R+,那么.+ 〉 aia2...an,当且仅当 a= a2= — = an时，
于n个正数a, a?,,它们的算术平均不小于它们的几何平均.
绝对值不等式
.绝对值三角不等式
.绝对值及其几何意义
a(a>0)
(1)绝对值定义：|a| 二
—a(a<0)
(2)绝对值几何意义：实数 a的绝对值| a|表示数轴上坐标为a的点A到原点0的距离| 0斥
(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点 A, B分别对应实数X, X2,则|AB二|Xi- X2| .

⑴定理1 ：如果a, b是实数，则|a+a|+ |b|，当且仅当ab>0时，等号成立.
推论1 ：如果a, b是实数，那么|却一 | b| < | a— b| <| a| + | b|.
推论 2 :如果 a, b 是实数，那么 | a| 一 | b| w| a+ b| <| a| + | b|.
(2)定理2：如果a, b, c是实数，那么| a— c| w| a- b| + | b- c|，当且仅当(a— b)( b- c)》0时，等号成立.
2 .绝对值不等式的解法
|x|va与|x|>a型不等式的解法
设 a>0，则(1)| x|< a— a<x<a ;
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