二重积分的计算方法
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,
故二重积分可写为
D
则面积元素为
一、利用直角坐标系计算二重积分
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(2)如果积分区域为:
其中函数、在区间上连续.
[X-型]
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回忆:平行截面面积为已知的立体的体积
立体体积
此方法关键是求
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计算截面面积
( 红色部分即A(x0) )
*
以D为底,
以曲面
为顶的曲顶柱体的体积.
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.
用二重积分的几何意义说明其计算法:
是区间
为曲边的曲边梯形.
为底,
曲线
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A(x0)
先对y后对x的二次积分(累次积分)
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(2) 积分区域为:
先对x后对y的二次积分
也即
其中函数
在区间
上连续.
[Y-型]
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既不是X-型区域也不是Y-型区域时,将D分成几部分,使每部分是X-型区域或是Y-型区域.
注意:
既是X-型区域也是Y-型区域时,可以用两个公式进行计算.
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
y
x
0
y
x
0
c
d
a
b
D
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特殊地
即等于两个定积分的乘积.
D为矩形域:
则
则
a≤x≤b,c≤y≤d
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二重积分是化为两次定积分来计算的,关键是确定积分限.
定限要注意的问题:
>下限.
,下限应为外层积分变量的函数.
,下限应为常数(后积先定限).
.
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