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高考解析几何与立体几何复习的几点思考
北师大昆明附中宋祖发
第一部分解析几何
解析几何是初等数学与高等数学的衔接点,“坐标思想”,即通过坐标系,使点对应到数对,直线与曲线对应于方程,从而把几何问题转化为代数问题,通过代数方程来表示和研究曲线,从而使代数和几何之间建立实质性的联系,可以说,解析几何是各种数学思想方法的综合点,是主干知识的交汇点。
一、解析几何命题的特点
题型相对稳定,一般考查三个小题,一个大题,文理科差异主要体现在小题上。
三个小题着重考查基本概念与性质,一般会出现一个较难的题目,但入口较容易。
二、解析几何的命题趋势(从内容上来看)
直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等有关的问题为基本问题,其中要重视“对称问题”的解答方法;
与圆的位置有关的问题,一是研究方程组,二是充分利用平面几何知识,后者是常用方法;
求曲线的方程或轨迹问题,涉及圆锥曲线的概念和几何性质问题;
直线与圆椎曲线的位置关系问题,如参数的取值范围、最值问题等,这是高考的重点内容之一;(学科内的小综合)
以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题,其目的是加强联系、注重应用,以考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力。(大综合)
三、需要突破的几个难点:
(一)直线与圆的位置关系问题
(二)求曲线的方程,讨论其几何性质
解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门属性为学科,主要表现为在坐标系的基础上求出曲线方程,进而根据方程研究曲线性质。
评析: 应用定义求动点轨迹或其方程,其优势在于避免列式、化简等繁琐的代数处理过程,给人以简捷、明快之感。

评析:向量与解析几何的结合是高考命题的新趋势。本题需要应用向量的数量积进行等价转化,这是向量背景下求动点轨迹的“直译法”,难度较小,但是,如果不能将“向量语言”
准确转化为“坐标语言”,或在化简过程中不细心都会可能出现错误。“细节决定成败”。
(三)直线与圆锥曲线的位置关系
直线和圆锥曲线的位置关系是平面几何的重要问题,它可以将解析几何中的一些主要内容有机地整合在一起。
(四)适当交汇,注重联系
圆锥曲线问题是中学数学知识的一个重要交汇点,成为联系多项内容的媒体,常与函数、不等式、数列、平面向量、导数等内容交叉渗透,题型新颖别致、自然流畅。这类题综合性强、解题灵活、思维抽象。因此在复习时要突出构建知识网络,从圆锥曲线整体的高度考虑问题,在解题实践中领悟蕴含的数学思想和方法。
解:(Ⅰ)椭圆的半焦距,
由知点在以线段为直径的圆上,故,
所以,
(Ⅱ)(ⅰ)当的斜率存在且时,的方程为,代入椭圆方程,并化简得
设,,则
,
;
因为与相交于点,且的斜率为,
所以,
四边形的面积

当时,上式取等号
(ⅱ)当的斜率或斜率不存在时,四边形的面积
综上,四边形的面积的最小值为
评析:第一问实际上是证明点P在椭圆的内部;第二问把要解决的解析几何问题转化为代数中的方程、不等式或函数问题,这是在转化与化归思想指导下“几何问题代数化”的具体体现。
在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量求:
(Ⅰ)点M的轨迹方程; (Ⅱ)的最小值
解: 椭圆方程可写为: + =1 式中a>b>0 , 且得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x>0,y>0) y=2(0<x<1) y '=-
设P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=2, y '|x=x0= - ,得切线AB的方程为:
y=- (x-x0)+y0 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x= , y=
由= +得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:
+ =1 (x>1,y>2)
(Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= =4+ ,
∴| |2= x2-1++5≥4+5=9 且当x2-1= ,即x=>1时,上式取等号
故||的最小值为3
评析:与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题综合性较大,解题时需要根据具体问题,灵活运用平面几何、函数、不等式、三角等知识,正确地构建圆锥曲线与其它数学知识的联系。
解析几何是高考命题的重要内容。选择题、填空题属容易或中等题,解答题计算量减少,思维量增大。重点仍然是直线与圆锥曲线位置关系,热点主要体现在以下几个方面:直线与圆锥曲线的基础题、轨迹问题、参数范围问题、最值问题,是否存在型的探索问题等。从“在知识网络交汇点设计试题”这一命题思想出发,还应该注重与平面向量、函数、导数、