寒假半角模型.docx

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半角模型
过等腰△ABC〔AB=AC〕顶角A引两条射线且它们的夹角为∠A，这两条射线与底角顶点的相关直线交于M、N两点，那么BM、MN、NC之间必然存在固定的关系，这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关
解决方法：
以A为中心，把△CAN〔顺时针或逆时针〕旋转α度，至△ABN’，连接MN‘
结论：1、△AMN≌△AMN’，MN=MN‘
2、假设BM、MN’、N‘B共线，那么存在x+y+z型的关系
假设不共线，那么△BMN’中，∠MBN‘必与∠A相关
应用环境：
1、顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30°、45°、60°、75°90°，或它们的补角为这些特殊角度的时候；
2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形
3、过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条角平分线、腰上的高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或菱形的另外两边
4、此等腰三角形的相关弦
半角模型
条件：
思路：〔1〕、延长其中一个补角的线段
〔延长CD到E，使ED=BM ，连AE或延长CB到F，使FB=DN ，连AF 〕
结论：①MN=BM+DN ② ③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM
（2） 对称〔翻折〕
思路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线.〔∠B+∠D=且AB=AD〕
例题应用：例1、在正方形ABCD中，假设M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：①.∠MAN=
②.
③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.


思路同上略.
例2拓展：在正方形ABCD中，∠MAN=，假设M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，
①.试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系.
②.求证：AB=AH.

〔提示〕

，∠B+∠D=，AB=AD，假设E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE +：


〔提示〕
例4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=120°，假设BD=5，CE=8，求DE。
：
：如图1在中，，，点、分别为线段上两动点，假设．探究线段、、三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，
使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：
〔1〕猜测、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜测给予证明；
〔2〕当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜测并给予证明．

例6探究：
〔1〕如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；
〔2〕如图2，假设把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD〞，那么〔1〕问中的结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明，假设不成立，请说明理由；
〔3〕在〔2〕问中，假设将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，
如图3所示，其它条件不变，那么〔1〕问中的结论是否发生变化？假设变化，请给出结论并予以证明..
练习稳固1：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=，AB=AD，假设E、F分别在边BC、CD 上的点，且. 求证：EF=BE +DF.


〔提示〕
练习稳固2，：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC〔或它们的延长线〕于点M、N．
〔1〕如图1，当绕点旋转到时，有．当 绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
〔2〕当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜测，并证明．