摆动法测量转动惯量.doc

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山基础物理实验 -59 -
实验4用复摆测量刚体的转动惯量
一、 实验目的
•学习掌握对长度和时间的较精确的测量；
•掌握重力加速度的方法，并加深对刚体转动理论的理解;
•学习用作图法处理、分析数据。
二、 实验仪器
JD-2物理摆、光电计时器等
三、 实验原理
单摆
如图4-1 (单摆球的质量为 m当球的半径远小于摆长I时，应用动量矩定理，在角坐 标系可得小球自由摆动的微分方程为：
—Sin n =0 (4-1)
dt I
式中t为时间，g为重力加速度，I为摆长。
(4-2)
则(4-1 )式可简化为:
令
(4-3 )式的解为：
dt2
(4-3 )
(4-4)
图4-1单摆原理
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(4-5 )
式中％ ,:由初值条件所决定。
周期
(4-6)
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2 •物理摆
一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图 4-2，设物理摆的质心为 C,质
量为M,悬点为O,绕O点在铅直面内转动的转动惯量为 j0，0C距离为h，在重力作用下，
由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为
Jo 与「MghE (4-7) dt2
2 Mgh
令 （4-8）
J 0
仿单摆，在二很小时，（4-7 ）式的解为：
二-二 sin( •，t 亠：:£) (4-9)
Mg
图4-2 物理摆（复摆）
(4-10)
设摆体沿过质心C的转动惯量为JC，由平行轴定理可知:
2
J。= Jc - Mh （4-11）
将（4-11 ）代入（4-10 ）可得：
T c I Jc 亠h
T = 2.： •—— （4-12）
V Mgh g
（4-12）式就是物理摆的自由摆动周期 T和（4-13 ）式右端各参变量之间的关系。实验
就是围绕（4-12 ）式而展开的。
因为对任何Jc都有Jc x m，因此（4-13 ）式的T与M无关，仅与 M的分布相关。
令J二Ma 2 , a称为回转半径,
则有
(4-13)
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一次法测重力加速度 g
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由（4-12 ）式可得出
2 2
4二(Jc Mh )
Mh
(4-14)
测出（4-14 ）右端各量即可得g ;摆动周期T,用数字计时器直接测出， M可用天平
称出，C点可用杠杆平衡原理等办法求出，对于形状等规则的摆,
二次法测g
Jc可以计算出。
一次法测g虽然简明,
但有很大的局限性，特别是对于不规则物理摆,
Jc就难以确
定，为此采用如下“二次法”
当M及其分布（C点） 是有
确定以后，改变 h值，作两次测
T的实验,
运用（4-13 ）式于
2
= 4：：
2
J c Mh1
2
J c Mh 2
Mgh 2
2 2 2
Mgh J — 4^. Jc — 4：. Mh
12 =0
(4-15)
2 2 2
Mgh 2T2 …4 J c - 4 ". Mh
联立解(4-15 )、( 4-16 )式，可得出
(4-16)
2 2
2 也一h?
g 二4 2 2
h1T1 — h2T2
(4-17)
这样就消去了 Jc，所以（4-17 ）测g就有着广泛的适用性。从（
4-17 ）式，更可十分明
确地看到T与M的无关性。
虽然，任意两组（m , T, ），（ h2, T2 ）实测值，都可以由（4-17 ）式算出g ;但是,
对于一个确定的“物理摆”选取怎样的两组（ h ,T ）数据，使能得出最精确的 g的实测
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结果呢？为此必须研究 T （ h ）关系：
将（4-12 ）式平方，于是可得出
T2 Jc h
- （ 4-18）
4二 Mgh g
从此式可以看出T2与h的关系大体为一变形的双曲线型图线：当 h趋于0时Ttr, 当h*, T亦趋于a；可见在 h的某一处一定有