样本及抽样分布.docx

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第六章样本及抽样分布
【内容提要】
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一、简单随机样本与统计量
1.
总体用来表征某一随机试验的数量指标
X,其概率分布称为总体的分布。
2.
简单随机样本 在相同条件下，对总体 X进行n次独立的重复观察，将所得结果
Xi,X2,…,Xn称为
从总体X中抽取的容量为 n的简单随机样本，试验结束后，可得一组数值
X「X2,
)Xn ,称其
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X同分布。
Xi,X2,…,Xn的观察值。
注：若Xi,X2,…，Xn为总体X的简单随机样本，则 Xi,X2,…，Xn相互独立，且与总体
设Xl,X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，T = g(Xl,X2，…，Xn)为样本Xl,X2，…，Xn的
实值函数，且不含任何未知参数，则称 Ag(Xi,X2，…，Xn)为一个统计量，将样本值 Xi,X2，…，X!代 入后算出的函
数值t = g(Xi, X2,…，Xn)称为该统计量的值。
注：设Xi,X2,…,Xn为总体X的简单随机样本，Xi,X2,…，Xn为相应的样本值，则常用的统计量有 ：
名称
统计量
统计量的值
样本均值
-1 n
X 一送 Xi n y
1 n x=-X Xi n z
21 n-2s2 = — Z (Xj-X)2 n T 7
2 1「 、2
样本方差
S - Z (Xi —x)
n -1 7
样本标准差
S
s = yfS
样本k阶原点矩
1 n人七Xik n im
4 k ak方陋Xi
样本k阶中心矩
Bk 二迟区-X)k n i =±
1 n
0=± S(xAx)k n im
设Xi,X2,…，Xn为总体X的简单随机样本，Xi,X2,…，Xn为相应的样本值，将样本值 按由小到大
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的顺序重新编号
其中0 - mk- n且a mk
x； "： X2"：…" Xr,1 _ r _ n,弁设Xi, X2,…，Xn中取到Xk的频数为m-
0, 若 X<X
n，则称Fn(x)=匹=若Xk — x xy，其中1 - k - r T为i玉至 潜哑n *至至n
若x兰x:
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总体X的经验分布函数(或样本分布函数)
注：设F(x), Fn(x)为总体X的概率分布函数与经验分布函数，则 -x? R,有：
P ]im_ F(x)-F n(x) =0i; =1,即只要n充分大，则Fn(x)与F(x)只有微小的差别。
二、抽样分布 n
. 2 一分布：设X!,X2,…)Xn为总体XLIN(0,1)的简单随机样本，则称 2riX：服从自由度为n
kJ
n
k=1
的2-分布，记为2=?X2L2(n)。
L 2(n), _ 2(m),且二者相互独立，则
xn2 AeA'2
【定理】设随机变量
f(x)二 2n2](n 2)
⑴.的密度函数为
⑵.72 -分布的再生性: 三 十耳 1_》2(m+ n)；
⑶.2-分布的数字特征：E()工n , D(八2n ；
⑷.72 -分布的临界值pfE<弋热n) )=P(? > /; (n) )=a .(查表)
N(0,1),Y_ E2( n),且二者相互独立，则称随机变量t = -jA服从自由 Jyf
度为n的t -分布，记为t LI t(n)。
【定理】设随机变量 |_|t(n),则
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⑴？匕的密度函数为：f(X)=「竺 +12+(1 + x2/n)q林，XE -,xc); y/rnV( n 2)
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⑵？ t -分布的极限分布
:n「二时，|_1 N(0,1),即
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lim f(x)hF(x) x (」：，：：)；
n_
⑶.t -分布的数字特征：若n 2,则E( ) =0, D( ) = n..(n-2);
⑷.t -分布的临界值：P :t.(n) =P . -t (n) =「.(查表)
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虚线：N(0,1)分布的密度函数y =「(x)实线：t(n)-分布的密度函数y
二 f(x)
3. F -分布：设随机变量X L 2(m), 丫一 2(n),且二者相互独立，则称随机变量
F = %1服从自
Y n
由度为(m, n)的F -分布，记为F LI F (m, n)。
【定理】设随机变量 LI F(m, n),贝U
⑴.？的密度函数为：f(x)=
「『((m+n) 2)亡工二若
-(m2b( n 2) (mx ? n)(m n) 2,