复合函数的单调性.doc

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函数的值域与函数的单调性
我们将复习函数的值域与函数的单调性两局部容．
通过本专题的学习，同学们应掌握求函数值域的常用方法；掌握函数单调性的定义，能用定义判定函数的单调性；会判断复合函数的单调性；了解利用导数研究函数单调性的一般方法．
[知识要点]
一．函数的值域
求函数值域的方法主要有：配方法、判别式法、换元法、根本不等式法、图象法，利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用函数的值域、利用导数求值域等．
二．函数的单调性
1．定义
如果对于给定区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)，那么就称f(x)在这个区间是增函数；如果对于给定区间上任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称f(x)在这个区间上是减函数．如果y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间．
注：在定义域的一点处，这个函数是增函数还是减函数呢？函数的单调性是就区间而言，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题．
2．函数单调性的运算规律
在共同的定义域上，设“f型〞是增函数，“g型〞是减函数，那么：
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〔1〕f1(x)+f2(x)是增函数；
〔2〕g1(x)+g2(x)是减函数；
〔3〕f(x)-g(x)是增函数；
〔4〕g(x)-f(x)是减函数．
[典型例题]
一．函数值域的求法
〔一〕配方法
例1．
解：
例2 求函数 y=2x+2-3×4 x(-1≤x≤0) 的值域
解y=2x+2-3·4x
=4·2x-3·22x
令 2x=t
例3．
解：
∴函数定义域为[3,5]
例4．假设实数x、y满足x2+4y2=4x，求S=x2+y2的值域
解：∵4y2=4x-x2≥0
∴x2-4x≤0，即0≤x≤4
∴当x=4时，Smax=16
当x=0时，Smin=0
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∴值域0≤S≤16
例5．函数y=f(x)=x2+ax+3在区间x∈[-1,1]时的最小值为-3，数a的值．
分析：
的位置取决于a，而函数的自变量x限定在[-1，1]，因此，有三种可能性，应分别加以讨论．
解：
综合〔1〕〔2〕〔3〕可得：a=±7
〔二〕判别式法
例6．
解 由得 (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*)
〔2〕假设2y-1≠0，那么∵x∈R
∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0
即 (2y-1)(10y-3)≤0
例7．
解 由得 (y-1)x2+(y-4)x-(6y+3)=0 (*)
①假设y=1，代入〔*〕式-3x-9=0
∴x=-3，此时原函数分母x2+x-6的值为0
∴y≠1
②假设y≠1，那么∵x∈R
∴Δ=(y-4)2+4(y-1)(6y+3)≥0
化简可得(5y-2)2≥0，那么y∈R
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