球的内切和外接问题学习教案.ppt

二、球与多面体的接、切
定义(dìngyì)1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 。
定义2：若一个(yī ɡè)多面体的各面都与一个(yī ɡè)球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个 。
一、
球体的体积与表面积
①
②
多面体的外接球
多面体的内切球
第1页/共15页
第一页，共16页。
中截面
设为1
球的外切(wài qiē)正方体的棱长等于球直径。
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( ) A. 1:2:3 B. C. D.
第2页/共15页
第二页，共16页。
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
中截面
正方形的对角线等于(děngyú)球的直径。
.
球内切于正方体的棱
第3页/共15页
第三页，共16页。
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
对角面
设为1
球的内接正方体的对角线等于(děngyú)球直径。
球外接于正方体
第4页/共15页
第四页，共16页。
练习(liànxí)：
沿对角(duì jiǎo)面截得：
1、三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1， ，已知空间中有一
个点到这四个点距离相等，求这个距离；
第5页/共15页
第五页，共16页。
1
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。
过侧棱AB与球心(qiúxīn)O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
O1 是正△BCD的中心(zhōngxīn)，且AE 为斜高
解法(jiě fǎ)1：
O1
A
B
E
O
C
D
作 OF ⊥ AE 于 F
F
设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r
∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
第6页/共15页
第六页，共16页。
O
A
B
C
D
设球的半径(bànjìng)为 r，则 VA- BCD =
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
解法(jiě fǎ)2：
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。
注意：①割补法，②
第7页/共15页
第七页，共16页。
练习(liànxí)
第8页/共15页
第八页，共16页。
P
A
O1
D
E
O
例3 求棱长为 a 的正四面体(zhènɡ sì miàn tǐ) P – ABC 的外接球的表面积
过侧棱 PA 和球心(qiúxīn) O 作截面α
则α截球得大圆(dà yuán)，截正四面体得△PAD，如图所示,
G
连 AO 延长交 PD 于 G
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
解法1：
第9页/共15页
第九页，共16页。
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
求正多面体外接球的半径
求正方体外接球的半径
解法(jiě fǎ)2：
第10页/共15页
第十页，共16页。