考研数学真题答案数一新.docx

2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题：1〜8小题，每小题4分，，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上.
♦ ♦ ♦
1、设函数f(x)在(-8,+8)连续，其2阶导函数f”(x)的图形如下图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个
数为()
(A) 0 (B) 1
(C) 2 (D) 3
【答案】(C)
【考点】拐点的定义
【难易度】★★
【详解】拐点出现在二阶导数等于 0,或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，
因此，由f'(x)的图形可知，曲线 y = f(x)存在两个拐点，故选(C).
2、设y = -e2x + \x -- lex是二阶常系数非齐次线性微分方程 y " + ay'+by = cex的一个特解，则()
2 . 3
(A) a =_3,b = _1,c=—1. (B) a =3,b =2,c = —1.
(C) a = —3,b=2,c=1. (D) a=3,b = 2,c = 1.
【答案】(A)
【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法
【难易度】★★
【详解】1e2x, -1ex为齐次方程的解，所以2、1为特征方程九2 + a九+b = 0的根，从而 2 3
a = —(1 +2 )=—3口=1父2=2，再将特解 y=xex 代入方程 y"一3y'+ 2y =cex 得：c = —1.
QO QO
3、若级数Z an条件收敛，则x=J3与x = 3依次为哥级数Z nan(x-1 的：
n + n 1
(A)收敛点，收敛点 (B)收敛点，发散点
(C)发散点，收敛点 (D)发散点，发散点
【答案】(B)
【考点】级数的敛散性
【难易度】★★★
00 oO oO
【详解】因为£an条件收敛，故x=2为哥级数£ an(x—1 )n的条件收敛点，进而彳#£an(x —1)”的收
n 1 n 1 n 1
od
敛半径为1,收敛区间为(0,2 ),又由于哥级数逐项求导不改变收敛区间，故 Z nan(x-1 )n的收敛区间
n 1
仍为(0,2卜因而x = J3与x=3依次为哥级数na nan(x-1)n的收敛点、发散点 n 1
4、设D是第一象限中曲线 2xy =1,4xy =1与直线y = x, y = J3x围成的平面区域，函数f(x, y)在D上
连续，贝U f(x, y)dxdy =
D
二 1 .
(A) 2d? sini2F f (rcos1,r sin ?)rdr
4 2sin 2 二
二 1
(B)啜d日 产2^ f (r cose, r sine)rdr
4 2sin 2 -i
二 1 . 二 1
(C) [3de jsn2^ f (rcos9,r sin8)dr (D) j^da 1丙；2" f (r cos8,rsin€i)dr
4 2sin 2 71 4 J2sin 21
【答案】(D)
【考点】二重积分的极坐标变换
【难易度】★★★
【详解】由y=x得，8=—；由y = J3x得，日=—
1
由 2xy=1 得，2r cos Osin 0 =1, r =
.sin 21
2 1
由 4xy=1 得，4r cos^sin 日=1, r = /
f (r cosi, r sin ?)rdr
2 2sin 2u
所以JJ f(x, y)dxdy =[初日「可和 D 4 /2sin 21
’1 1
5、设矩阵A = 1 2
J 4
必要条件为
1
a ，
2
a )
Q ={1,2},则线性方程组
Ax = b有无穷多个解的充分
a \d
a ''' 1, d - 1
(C) a - \d 1
【答案】(D)
【考点】非齐次线性方程组的解法
【难易度】★★
1
【详解】lA,b】=1
J
111] 一1
2 a d o 0
2 2
4 a d」 0
1 1 I
a —1 d —1
a-1 a-2 d -1 d-2
Ax =b 有无穷多解 u R(A) = R(A,b) <3
u a =1 或 a =2且 d =1 或 d =2
6、设二次型f(Xi,X2,X3)在正交变换x = Py下的标准形为2y2+y2-y；,其中
P =(0。,63),若Q =(e,-Qe),则f(Xi,X2,X3)在正交变换x=Qy下的标准形为
(A)2y2—y2+y2 (B) 2y2+y2—y2
(C) 2yi — y2 -y3 (D) 2 yl * y2 * y3
【答案】(A)
【考点】二次型
【