第六节 泰勒公式与泰勒级数.doc

word
word
1 / 9
word
§ 泰勒公式与泰勒级数
教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh，了解函数的Taylor级数与
Taylor展式的关系.
重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法.
难点: 理解泰勒公式的推导方法.
教学方法：启发式讲授与指导练习相结合
教学过程：
O、近似表达函数的多项式的特性
引例：当很小时，，设，，如此
假设将在如此在处两函数有直到n阶一样的导数，其在处接近的程度更高，：设有函数在的某一邻域有直到阶的导数，令，再令
,,
假设 ,.
〔表示的函数值相等〕如此
〔〕，于是.
证明：因,
,…… ,
word
word
2 / 9
word
…… ,,
那么,所以,
.
一、泰勒〔〕公式
在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式
〔 当很小时，〕
从几何上看，这是在点
函数改变量的表达式中
略去了一个关于〔〕的高阶无穷小量〔时〕.但公式
在实际计算中的精度不高，其误差为
，可以求出
.
如果需要精度更高些，可将〔〕的高阶无穷小别离成两局部
〔时〕.
保存与同阶的无穷小量，略去的高阶无穷小量，
此时有 ，
以此类推，为达到一定准确度的要求，可考虑用次多项式近
似表示，当很小时，将多项式写成以〔〕
的方幂展开的形式
，其中
具有任意阶的连续导数，将
的多项式两边求一阶到阶导数，并令可得
于是可以写成
word
word
3 / 9
word
假设函数在的某一邻域一阶到阶的导数都存在，可以做出一个次多项式
不一定等于，但它可以近似表示，它的近似程度可以由误差来确定.
设，如果能确定的值，如此就确定了.
【】〔泰勒公式〕设在含有的区间
有直到阶的连续导数,如此，可以按〔〕
的方幂展开为
.

称为拉格朗日型余项, 介于与
之间.
证明：因为在含有的区间有直到阶的连续导数,所以对于，可将写成
word
word
4 / 9
word
为求出的值，引进辅助函数
显然 ，在区间上连续〔设〕，
在区间可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点
，使得，因为
化简整理得
所以 ，而
由 ，于是
，介于与之间.
在公式中当时，公式可化为麦克劳林公式
其中
word
word
5 / 9
word
或令，如此
另证：,,由条件知：(连续次使用柯西中值定理可以证明)
,,
显然 , .那么
,
其中 ，所以
, 介于与之间.
例1 求的阶麦克劳林公式.
解 因,,，那么
,.
例2 求的阶麦克劳林公式.
解 因, .
有 ,,，那么
word
word
6 / 9
word
,(或都可以)
其中：,.
特别地：时，, ；
时，, ；
时，, .
例3 按的乘幂展开多项式.
解
,
所以 .
二、泰勒级数
，级数在其收敛域一定有和函