D33泰勒公式99925
特点:
一、泰勒公式的建立
以直代曲
在微分应用中已知近似公式 :
需要解决的问题
如何提高精度 ?
如何估计误差 ?
x 的一次多项式
问题
对给定的满足一定条件的复杂函数
是否存在一个
次多项式函数
且误差
可估计.
设
次多项式
与函数
在点
处满足条
件:
要按这些等式来确定多项式
1. 求 n 次近似多项式
要求:
故
令
则
2. 余项估计
令
(称为余项) ,
则有
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒(Taylor)中值定理 :
阶的导数 ,
时, 有
①
其中
②
则当
泰勒
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
注意到
③
④
* 可以证明:
④ 式成立
特例:
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
给出拉格朗日中值定理
可见
误差
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
则有
在泰勒公式中若取
则有误差估计式
若在公式成立的区间上
麦克劳林
由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
其中
麦克劳林公式
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