排列与组合我们先看下面两个问题. (l) 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,,火车有 4班,汽车有 2班, 轮船有 3班,问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 因为一天中乘火车有 4 种走法,乘汽车有 2 种走法,乘轮船有 3 种走法,每一种走法都可以从甲地到达乙地,因此,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十 3=9 种不同的走法. 一般地,有如下原理: 加法原理: 做一件事, 完成它可以有 n 类办法, 在第一类办法中有 m 种不同的方法, 在第二类办法中有 m 种不同的方法, ……,在第 n 类办法中有 m N=m 1十m 2十…十m n 种不同的方法. (2) 我们再看下面的问题: 由A村去 B 村的道路有 3 条,由 B村去 C 村的道路有 2 A村经 B村去 C 村,共有多少种不同的走法? 这里,从 A村到 B村有 3 种不同的走法,按这 3 种走法中的每一种走法到达 B 村后,再从 B村到 C村又有 ,从 A村经 B村去 C村共有 3X2 =6种不同的走法. 一般地,有如下原理: 乘法原理: 做一件事, 完成它需要分成 n 个步骤, 做第一步有 m 种不同的方法, 做第二步有 m 种不同的方法,……,做第 n步有 m N=mm…m 种不同的方法. 例1书架上层放有 6本不同的数学书,下层放有 5本不同的语文书. 1)从中任取一本,有多少种不同的取法? 2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法? 解:(1 )从书架上任取一本书,有两类办法:第一类办法是从上层取数学书,可以从 6 本书中任取一本,有6种方法;第二类办法是从下层取语文书,可以从 5本书中任取一本,, 得到不同的取法的种数是 6十5= 11. 答:从书架 L任取一本书,有 11种不同的取法. (2)从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两个步骤完成:第一步取一本数学书,有6种方法;第二步取一本语文书,有 ,得到不同的取法的种数是 N= 6X5 = 30. 答:从书架上取数学书与语文书各一本,有 30种不同的方法. 练习: 一同学有 4枚明朝不同古币和 6枚清朝不同古币 1)从中任取一枚,有多少种不同取法? 2)从中任取明清古币各一枚,有多少种不同取法? 例2: (1) 由数字 l,2,3,4,5可以组成多少个数字允许重复三位数? (2) 由数字 l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数? (3)由数字 0,l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数? 解:要组成一个三位数可以分成三个步骤完成:第一步确定百位上的数字,从 5 个数字中任选一个数字,共有 5种选法;第二步确定十位上的数字,由于数字允许重复, 这仍有 5 种选法,第三步确定个位上的数字,同理,它也有 5 ,得到可以组成的三位数的个数是 N= 5X5X5 = 125 . 答:可以组成 125 个三位数. 练习: 1、从甲地到乙地有 2条陆路可走,从乙地到丙地有 3条陆路可走,又从甲地不经过乙地到丙地有 2条水路可走. (1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法? (2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法? 2 . 2O 张分别标有数 1、2、…、 19、 20 的红卡片,从中任抽一张,把上面的数作为被加数;在另一个黄口袋中装着 10 张分别标有数 1、2、…、9、1O 的黄卡片,从中任抽一张,? 2的变形 0-9这 10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数? 小结:要解决某个此类问题,首先要判断是分类,还是分步?分类时用加法,分步时用乘法其次要注意怎样分类和分步,以后会进一步学习练习 1.(口答),另有 ,共有多少种选法? 2 .在读书活动中,一个学生要从 2 本科技书、 2 本政治书、 3 本文艺书里任选一本,共有多少种不同的选法? ( a1+ a2 +a3 )( b1+b2+b3+b4 )( c1+c2+c3+c4+c5 )展开后共有多少项? 2条路可通,从乙地到丙地有 3条路可通;从甲地到丁地有 4条路可通,从丁地到丙地有 ? 5个小球,另一个口袋内装有 4个小球,所有这些小球的颜色互不相同. (1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?
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