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极限计算方法总结
《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果
：(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。
说明:(1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到)都可以用上面的
极限严格定义证明,例如:；;
;等等
　 　　(2)在后面求极限时，（1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则
定理1 已知 ,都存在,极限值分别为A,B，则下面极限都存在,且有 　(１)
(２)
(3)
说明:极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。

(1) 　 　 　 　
(2）　 ；
说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,
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作者简介:靳一东,男，（1９64—），副教授。
例如:,,；等等。
　 ４．等价无穷小
　 　定理2　无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。
定理３ 当时,下列函数都是无穷小(即极限是０）,且相互等价，即有：
～~~~~~　。
说明:当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价
关系成立,例如:当时, ～ ；　～　。
　　 定理４ 如果函数都是时的无穷小，且～,~,则当存在时,也存在且等于，即=。

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大）时，函数和满足：(１)和的极限都是0或都是无穷大；
　 　　　(2)和都可导，且的导数不为0;
　 　 　 (3)存在(或是无穷大)；
　则极限也一定存在,且等于,即= 。
说明：定理５称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1）是否满足,即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件(２)一般都满足，而条件(３)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
６．连续性
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定理６ 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果是函数的定义去间内的一点，则有　。

　定理7（准则1)　单调有界数列必有极限。
　 定理８(准则2）　已知为三个数列,且满足：
(1）
　　　 (２）　，
　 则极限一定存在,且极限值也是ａ　，即。
二、求极限方法举例
用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
例1 　
解：原式=　。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2　　
解:原式＝ 。
例３
解:原式　。
利用函数的连续性(定理6）求极限
例4
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解:因为是函数的一个连续点,
　 　所以　　原式=　。
利用两个重要极限求极限
例5　
解：原式= 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例６
解:原式= 。
例７
解:原式= 。
利用定理２求极限
例8
解:原式＝0 (定理２的结果）。
利用等价无穷小代换(定理４)求极限
　例9
　解:～，~,
ﻩ原式＝ 。
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例１０　
解:原式=　。
注:下面的解法是错误的:
　 原式= 。
　正如下面例题解法错误一样:
　 。
例11　
解:,
所以，　 原式= 。（最后一步用到定理２）
利用洛比达法则求极限
说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,洛比达法则还可以连续使用。
例1２ (例4)
解:原式＝　。(最后一步用到了重要极限）
例1３　
解:原式＝ 。
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例1４
解：原式＝= 。（连续用洛比达法则,最后用重要极限)
例1５　
解:
例18　
解：错误解法:原式＝ 。
正确解法:
应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。
例19
解:易见:该极限是“”型,但用洛比达法则后得到:，此极限
不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:
原式=　（分子、分母同时除以x)
　　 　= (利用定理１和定理２）
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利用极限存在准则求极限
例20 已知,求
解:易证：数列单