圆的方程知识点总结和典型例题.docx

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圆的方程知识点总结及经典例题
1．圆的定义及方程
定义
平面内及定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心：，
半径：
注意点
(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．
(2)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．
2．点及圆的位置关系
点M(x0，y0)及圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
3．直线及圆的位置关系
（1）直线及圆的位置关系的判断方法
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线及圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法位置关系
几何法
代数法
相交
d<r
Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
1．几何法：由圆心到直线的距离d及圆的半径r的大小关系判断．
2．代数法：根据直线方程及圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点及圆的位置关系来判断直线及圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
（2）过一点的圆的切线方程的求法
1．当点在圆上时，圆心及该点的连线及切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．
2．若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．
（3）求弦长常用的三种方法
1．利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题．
2．利用交点坐标
若直线及圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
3．利用弦长公式
设直线l：y＝kx＋b，及圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根及
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系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝.
4. 圆及圆的位置关系
（1）圆及圆位置关系的判断方法
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法位置关系
几何法：圆心距d及r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|<d<r1＋r2
两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|
(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
易误点：两圆相切问题易忽视分两圆内切及外切两种情形．
1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：