09函数的单调性.ppt

函数的单调性
设函数 f(x) 的定义域为 I :
一，函数的单调性
注: 函数是增函数仍是减函数是对定义域内某个区间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数, 而在另一些区间上可能是减函数.
假如对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数;
假如对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数.
假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性, 这一区间叫做函数 y=f(x) 的单调区间.
二，单调区间
: 对任意 x1, x2∈M, 且 x1<x2;
三，用定义证明函数单调性的步骤
③在单调区间上, 增函数的图象自左向右看是上升的, 减函数的图象自左向右看是下降的.
: f(x1)-f(x2);
;
.
注: ①函数的单调区间只能是其定义域的子区间;
②函数的单调区间是连续区间, 如区间不连续, 应分段 考查.
复合函数 f[g(x)] 的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u) 的单调性亲密相关, 其规律如下：
函数
单调性
u=g(x)
增
增
减
减
y=f(u)
增
减
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减
增
四，复合函数的单调性
五，函数单调性的判定方法
:
主要适用于抽象函数或已知函数.
:
适用于具体函数.
:
单调性的判定:
单调性的判定:
:
:
奇函数在对称区间上具有相同的单调性;
偶函数在对称区间上具有相反的单调性.
互为反函数的两个函数在各自的定义域上具有相同的单调性.
六，两类问题的区分
f(x) 的单调递增(或递减)区间是 D:
f(x) 在区间 D 上单调递增(或递减):
不等式 f (x)>0(<0) 的解集是区间 D;
不等式 f (x)≥0(≤0) 对于 xD 恒成立.
如函数 f(x) 可导,
f(x)=ax+ (a>0, b>0) 的单调区间.
x
b
解: ∵函数 f(x) 的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞),
典型例题
函数 f(x) 的导函数 f (x)=a- = ,
b
x2
ax2-b
x2
∴函数 f(x) 的单调递增区间是 (-∞, - ) 与 ( , +∞),
a
b
a
b
函数 f(x) 的单调递减区间是 (- , 0) 与 (0, ).
a
b
a
b
令 f (x)<0 得: x2<  - <x<0 或 0<x< .
a
b
a
b
a
b
令 f (x)>0 得: x2>  x<- 或 x> ;
a
b
a
b
a
b
②求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题, 但必需留意, 假如函数的解析式含有参数, 而且参数的取值影响函数的单调区间, 这时必需对参数的取值进行分类争论.
注: ①这个函数的单调性特别重要, 应用特别广泛, 它的图象如下列图:
o
y
x
2 ab
-2 ab
b
a
b
a
-
y=2log2 x-2log x + 1 的单调性.
1
2
1
2
解: 令 t=log x, 则 t 关于 x 在 (0, +∞) 上单调递减.
1
2
而 y=2t2-2t+1 在 (-∞, ] 上单减, 在 [ , +∞) 上单增,
1
2
1
2
又由 t≤　得 x≥ ,
1
2
2
2
由 t≥ 得 0<x≤ ,
1
2
2
2
故函数 y=2log2 x-2log x+1 在 [ , +∞) 上单调递增,
　在 (0, ] 上单调递减.
1
2
1
2
2
2
2
2
f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1. (1)当 k 为何值时, 函数 f(x) 的单调递减区间是