专题八 定积分应用
几何应用
( 一 ) 平面图形的面积
1. 直角坐标系中（以
x or y 为积分变量）
模型Ⅰ（ X 型）由两条连续曲线
y =
f (x)、y = g(x)、直线 x = a、x = b（ a<b）所围成的平面图形
D 的面积
b
f ( x) g( x) dx
S
a
模型Ⅱ（ Y 型） 由两条连续曲线
x =
(y)、 x =
( y)和直线 y = c、 y = d（ c<d）所围成的平面图形
D 的面
积 S
d
( y)
( y) dy .
c
2．极坐标系中（以
为积分变量）
模型 Ⅲ（
型）设
=
(
)与
=()在[
, ]上连续, 且
( )
( )
0，由
=
( )、
=
(
)、射线
=
、
=
所围成的曲边扇形 D 的面积 S
1
[2()
2 ( )] d
2
3．参数形式表出的曲线所围成的面积
x
(t )
(
(
)
a
b
(t)
(t) dt
曲线 C 的参数方程
t), ，
, ，曲边梯形 S
ydx
y
(t )
(
)
b
a
( 二 ) 平面曲线的弧长：弧微分
ds
(dx)2
( dy)2
1．直角坐标系
设光滑曲线 C： y = f (x) ( a≤ x≤ b), 则 ds
1 ( y ) 2 dx ；弧长 s
b
1 ( y )
2
dx
a
2．参数方程所表曲线的弧长
x
(t ),
t
)，则 ds
[
(t)]
2
[
(t)]
2
dt ；弧长 s
[
2
[
2
设光滑曲线 C：
(
(t)]
(t )] dt
y
(t )
3. 极坐标系
设
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