函数的基本性质知识点总结.doc

函数的基本性质知识点总结.doc1
函数的基本性质
基础知识：
奇偶性
定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x都有f(— x)= — f(x)，则称f(x)为奇函数；如
果对于函数f(x)定义域内的任意 x都有f( — x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数 f(x)不具有 上述性质，则f(x)不具有奇偶性•如果函数同时具有上述两条性质，贝y f(x)既是奇函数，又是
偶函数。
注意：
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 X,则一x也
一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f(— x)与f(x)的关系；
作出相应结论：
若 f( — x) = f(x)或 f( — x) — f(x) = 0，贝U f(x)是偶函数；
若 f( — x) = — f(x)或 f(— x)+ f(x) = 0,贝y f(x)是奇函数。
简单性质：
图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称； 一个函
数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y轴成轴对称；
设f(x)，g(x)的定义域分别是D「D2，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇
单调性
定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间 D内的 任意两个自变量 Xi，X2，当Xi<X2时，都有f(xi)<f(x2) ( f(Xl)>f(X2))，那么就说f(X)在区间D上 是增函数(减函数)；
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量 x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性，区间 D叫做y=f(x)的单调区间。
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设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间， B是映射g : x tu=g(x)的象集：
①若u=g(x)在A上是增(或减)函数，y= f(u)在B上也是增(或减)函数，贝U函数y= f[g(x)]
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在A上是增函数；
②若u=g(x)在A上是增(或减)函数，而 y= f(u)在B上是减(或增)函数，则函数 y= f[g(x)] 在A上是减函数。
判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D上的单调性的一般步骤：
①任取Xi, X2 € D，且Xi<X2； ②乍差f(Xi) - f(X2)； ③变形(通常是因式分解和配方)；
定号(即判断差f(Xi)- f(X2)的正负)：⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间D上的单调 性)。
(5 )简单性质
奇函数在其对称区间上的单调性相同；
偶函数在其对称区间上的单调性相反；
在公共定义域内：
增函数f(x) •增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)减函数g(x)是减