关于函数定义域的若干问题.doc

关于函数定义域的若干问题.doc关于函数定义域的若干问题摘要: 定义域是构成函数的两大要素之一, 所谓定义域就是自变量使函数的对应法则成立的一切值所构成的实数集, 或者称之为自变量的取值范围。定义域问题看似简单, 然而还是有若干值得注意的地方, 如果学生对此缺乏深刻而细致的理解, 就会盲目地进行解题, 导致不该发生的错误。笔者认为,这些问题在教学过程中当给予重视并加强对学生的引导。关键词:函数;定义域;思维品质思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线, 贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一, 函数的定义域( 或变量的允许值范围) 看起来非常简单, 然而在解决问题中不加以注意, 常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响, 对提高学生的数学思维品质是十分有益的。一、自然定义域与人为给定的定义域在初等数学中, 我们所讨论的函数一般都是具有唯一的、明确的解析式的函数。解析式所给出的是函数的对应法则。按此法则,给定自变量 X 的一个值, 可以求出所对应的函数值。然而, 并非对于 X 的任何一个值都能这样, 因为某个法则对于 X 的某些值可能是无意义的。例如, 函数 f(x) =, 对于当 x<0 时的值就没有意义, 仅当 x≥0时, 这种对应关系才得成立。所以函数式的定义域为[0,∞) 。这里定义域是由“法则”自然确定的, 这种定义域称为自然定义域, 平时学生所作的“求函数定义域”的题目都系于这种类型。然而, 有时我们给出一个函数, 而且规定了这个函数的定义域, (往往是该函数自然定义域的一个真子集)这样做有两层意义: 第一, 只要求在所规定的定义域范围内讨论函数, 而不考虑 x 可能取值的其他地方。第二,在实际问题中,自变量的取值已经受到限制。二、函数关系式与定义域函数关系式包括定义域和对应法则, 所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域, 否则所求函数关系式可能是错误的。例1: 某单位计划建筑一矩形围墙, 现有材料可筑墙的总长度为 100m , 求矩形的面积 S 与矩形长 x 的函数关系式。解: 设矩形的长为 x米, 则宽为( 50-x )米, 由题意得: S=x ( 50-x ), 故函数关系式为: S=x ( 50-x )。如果解题到此为止, 则本题的函数关系式还欠完整, 缺少自变量 x的范围, 也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量 x 取负数或不小于 50 的数时, S 的值是负数,即矩形的面积为负数,这与实际问题相矛盾, 所以还应补上自变量 x 的范围: 0<x<50 ,即函数关系式为: S=x ( 50-x ) ( 0<x<50 )。这个例子说明: 在用函数方法解决实际问题时, 必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点, 就体现出学生思维缺乏严密性。三、函数最值与定义域函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小) 值的问题。如果不注意定义域,将会导致最值的错误。例2 :求函数 y=x2-2x-3 在[-2 , 5] 上的最值。解: ∵ y=x2-2x-3= ( x2-2x+1 ) -4= ( x-1 ) 2-4 , ∴当 x=1 时, ymin=-4 。初看结论, 本