求数列通项公式的十种方法.docx

1 ． 观 察 法 （ 求 出 a 1 、 a 2 、 a 3 ， 然 后 找 规 律 ）
即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利
用数学归纳法加以证明即可。
例 1. 设 a1 1，an 1 an 2 2an 2 b(n N ) ，若 b 1 ，求 a2 , a3 及数列 { an }
的通项公式．
解：由题意可知： a1
1
111，
a2
2
2a1
2 1 2
211，
a1
a3
a22
2a2
2 1
2 1
311.
因此猜想 an
n 1 1 .
下面用数学归纳法证明上式．
（1）当 n＝1 时，结论显然成立．
（2）假设当 n＝k 时结论成立，即 ak
k 1
1.
(3)则 ak 1 ak
2
2ak 2 1 (ak 1)2
1 1
( k
1) 1 1(k 1) 1 1，
即当 n＝k＋1 时结论也成立．
由（1）、（2）可知，对于一切正整数 n ，都有 an n 1 1(n N ) ．（最
后一句总结很重要 ）
2． 定义法 （ 已知数列为等差或者等比 ）
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法， 这种方
法适应于已知数列类型的题目。
例
a
n 满足 1
2
10
，
4
3
2
，求
n 的通项公式。
a
a
a
a
a
解：设等差数列
an 的公差为 d .
因为 a4 a3
2 ，所以 d 2 .
又因为 a1 a2
10，所以 2a1
d
10
，故 a1
4 .
所以 an 4 2(n 1) 2n 2 (n 1,2, ) .
3．公式法
若已知数列的前 n 项和 sn 与 an 的关系，求数列 an 的通项 an 可用公
式
求解。 （一定要讨论
n=1， n≥2）
例 3. 设数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ，已知 2Sn
3n
3.
（Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式。
解：（Ⅰ）由
2Sn
3n
3
可得：当 n
1时， a1
S1 1(3 3)
3 ，
2
当 n
2 时， an
Sn
Sn 1
1 (3n
3)
1 (3n 1
3) 3n 1 (n 2)
2
2
而 a1 3
31
1 ，
所以 an
3,
n
1,